函数值域(6篇)
函数值域篇1
二次函数在给定闭区间上的最值或值域问题，更是常见的题型，能够熟练地解决此类问题，也是高考必备的能力要求。借助二次函数的图像，明确其对称轴与给定区间的关系，是解决这类问题的关键所在。下面我就对这一问题的解法谈谈自己的见解，并进行归纳总结。
一、轴定区定问题
即二次函数的图像的对称轴明确，所给区间具体，只需结合其图像，即可直接求得最值，进而得到其值域。
【例1】求二次函数y=-x+4x-2在区间［0，3］上的最大值和最小值。
解：y=-（x-2）+2且x∈［0，3］，
当x=2时，y取得最大值2。
又f（0）＜f（3），
当x=0时，y取得最小值-2。
【例2】求函数y=1-2sinx+2cosx，x∈［-，］的值域。
解：y=1-2sinx+2cosx=2cosx+2cosx-1=2cosx+-
x∈［-，］
cosx∈［，1］
当cosx=即x=±时，y=；
当cosx=1即x=0时，y=3。
所以所求函数的值域为［，3］。
【小结】对于二次函数f（x）=a（x-h）+k在区间［m，n］上的最值：
若h∈［m，n］，则当a＞0（a＜0）时，f（h）是最小（大）值，且f（m）与f（n）中最大（小）者为最大（小）值；
若h?埸［m，n］，则f（x）在区间［m，n］上是单调的，因此f（m）与f（n）中的最大者为最大值，最小者为最小值。
二、轴动区定问题
即二次函数的图像的对称轴变化，而所给区间具体，这时要根据对称轴“穿过”区间的不同方式进行分类讨论解决。
【例3】已知二次函数f（x）=-x+2ax+1-a（a∈R），求函数f（x）在区间［0，1］上的最大值。
分析：抛物线开口方向明确，其对称轴为x=a，由于对称轴位置不定，所以要根据对称轴“穿过”区间的不同方式进行分类讨论。
解：函数f（x）的图像的对称轴为x=a。
（1）当a＜0时，（如图1.1），f（x）在［0，1］上是减函数，
当x=0时，
f（x）=f（0）=1-a。
（2）当0≤a≤1时，（如图1.2），此时函数的最大值在对称轴处取得，
当z=a时，
f（x）=f（a）=a-a+1。
（3）当a＞1时，（如图1.3），f（x）在［0，1］上是增函数，
当x=1时，
f（x）=f（1）=a。
综上所述：当a＜0时，f（x）=f（0）=1-a；
当0≤a≤时，f（x）=f（a）=a-a+1；
当a＞1时，f（x）=f（1）=a。
【例4】已知二次函数f（x）=（4-3a）x-2x+a（a∈R），求函数f（x）在区间［0，1］上的最大值。
分析：函数的图像的对称轴为x=，注意到参数a对抛物线开口方向及对称轴位置的影响，同时注意对称轴“穿过”区间的不同方式，因此应对参数a进行分类讨论。
解：易得函数图像的对称轴为x=（4-3a≠0）。
（1）当a＞时，4-3a＜0，从而x=＜0。
此时当x=0时，f（x）=f（0）=a。（如图2.1）
（2）当a＜时，4-3a＞0，从而x=＞0。
①当a≤时，0＜≤，
此时当x=1时，f（x）=f（1）=2-2a；（如图2.2）
②当＜a＜时，＞，
此时当=0时，f（x）=f（0）=a。（如图2.3）
综上所述：（1）当＜a＜或a＞时，f（x）=f（0）=a；
（2）当a≤时，f（x）=f（1）=2-2a。
三、轴定区动问题
即二次函数的图像的对称轴位置给定，所给区间变化。这时要根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论解决。
【例5】已知函数f（x）=x-2x+2在x∈［t，t+1］的最小值为g（t）。试写出函数g（t）的解析表达式。
分析：二次函数f（x）=x-2x+2的图像的对称轴方程为x=1，而对称轴可能在区间［t，t+1］的左边，中间，右边。因此分三种情况加以讨论。
解：f（x）=x-2x+2的图像的对称轴为x=1，其开口向上。
（1）当t＞1时，对称轴在区间［t，t+1］的左边，因此f（x）在［t，t+1］上是增函数，所以g（t）=f（t）=t-2t+2；
（2）当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，对称轴在区间［t，t+1］的中间，因此f（x）的最小值在对称轴处取得，所以g（t）=f（1）=1；
（3）当t+1＜1，即t＜0时，对称轴在区间［t，t+1］的右边，因此f（x）在［t，t+1］上是减函数，所以g（t）=f（t+1）=t+1。
综上所述，可得：g（t）=t+1（t＜0）1（0≤t≤1）t-2t+2（t＞1）。
四、结语
函数值域篇2
关键词：函数；值域；求值域方法
中图分类号：G633.6文献标志码：A文章编号：1674-9324（2014）12-0263-01
近几年的高考数学中虽不直接对函数值域进行单独考查，但在一些恒成立、求参数范围等的题目中频繁涉及。本人以为回归课本，掌握基础，是解决此类问题的最佳途径，故根据本人在教学中的经验，试将函数求值域题型技巧总结如下。
一、函数单调性法
【例1】函数y=+的值域。
【解析】先求定义域为（-∞，0）∪[4，+∞）两个根号内的函数在（-∞，0]上都为减函数，所以y≥2，在[4，+∞）上都为增函数，所以y≥2所以函数值域为[2，+∞）.
点评：函数求值域高考中首选单调性，一般的我们要从函数形式求导数或直接求单调性而去求解值域。
【变式1】已知g（θ）=5θ-10sinθ，θ∈（0，π），试求当角q的余弦值为何值时，函数取最小值？
【解析】g（θ）=5-10sinθ，当g（θ），
g（θ）在θ∈（0，）上为减函数；当g（θ）>0，cosθ
g（θ）在θ∈（，0）上为增函数，当θ=时，取到最小值。
二、配方法
【例2】（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）），y=（-6≤a≤3）的最大值为（）。
A.9B.C.3D.
【解法1】Qy=3==，又-6≤a≤3，当a=-时，ymax=。
【解法2】本题考查函数的最值以及基本不等式的应用。当-6≤a≤3时，3-a≥0，a+6≥0，当a=6，3时，=0。所以≤=，当且仅当3-a=a+6，即a=-时去等号。选B。
点评：配方法一般用于二次函数形式的值域求解问题，配方看定义域而去求解值域。
【变式2】如果函数f（x）=（x-1）2+1定义在区间[t，t+1]上，求f（x）的最小值。
f（x）min=（t-1）2+1，t>1
1，0≤t≤1
t2+1t
【解析】函数图象的对称轴为x=1，
（1）当t+1
（2）当t>1时，f（x）min=f（t）=t2-2t+2；
（3）当t≤1≤t+1即0≤t≤1时，f（x）min=f（1）=1。
三、分离常数法
【例3】函数y=的值域为。
答案：（-1，1]。
【解析1】方法一：y==-1+，函数的定义域为R。
1+x2≥1，0
【解析2】y=⇒y+yx2=1-x2⇒（1+y）x2=1-y⇒x2=≥0，得到y∈（-1，1]。
点评：分离常数法一般用于分子分母一二次等的分式求值域问题，注意定义域，一般利用均制定里或对勾函数、函数单调性解之。
【变式3】求函数y=的值域为。
答案：{y|y≠}。
【解法1】（分离常数法）y=・=-・，由于・≠0，所以y≠。
【解法2】（换元法）设5x+1=t，x=，y=×=×（1-），由于≠0，所以{y|y≠}。
四、换元法
【例4】求函数y=4x-5+2的值域。
答案：[1，+∞）。
【解析】
法1：令t=，则2x=t2+3，y=2（t2+3）-5+t=2t2+t+1=
2
t++，t≥0，而函数y=2t2+t+1在[0，+∞）上是增函数，随着增大而无穷增大.所以当t=0时，ymin=1，故所求函数的值域是[1，+∞）。
法2：显然函数在[，+∞）上是增函数，所以当x=时，ymin=1，故所求函数的值域是[1，+∞）。
函数值域篇3
摘要：本文主要从五个方面通过举例来阐述定义域的作用，强调定义域在解有关函数问题重要性，培养学生严谨敏锐的思维能力。
关键词：函数定义域对应法则
函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的定义域是构成函数的三大要素之一，是确定函数图象与解析式的关键，在函数中有着很重要的作用。看似函数的定义域（或变量的允许值范围）非常简单，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。现就函数定义域的作用小结如下：
一、确定函数关系式
函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：
例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？
解：设矩形的长为x米，则宽为（50-x）米，由题意得：
故函数关系式为：.
如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：
即：函数关系式为：（）
这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。
二、确定函数最值
函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大（小）值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：
例2：求函数在[-2，5]上的最值.
解：
当时，
初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，没有注意到定义域的限制。
其实以上结论只是对二次函数在R上适用，而在指定的定义域区间上，它的最值应分如下情况：
⑴当时，在上单调递增函数
；
⑵当时，在上单调递减函数
；
⑶当时，在上最值情况是：
，
.即最大值是中最大的一个值。
故本题还要继续做下去：
函数在[-2，5]上的最小值是-4，最大值是12.
这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便很容易做出。
三、确定函数值域
函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：
例3：求函数的值域.
错解：令
故所求的函数值域是.
剖析：经换元后，应有，而函数在[0，+∞）上是增函数，
所以当t=0时，ymin=1.
故所求的函数值域是[1，+∞）.
以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。
四、确定函数单调性
函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：
例4：指出函数的单调区间.
解：先求定义域：
函数定义域为.
令，知在上时，u为减函数，
在上时，u为增函数。
又.
函数在上是减函数，在
上是增函数。
即函数的单调递增区间，单调递减区间是。
如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，没有理解。
五、确定函数奇偶性
判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如：
例5：判断函数的奇偶性.
解：
定义域区间[-1，3]关于坐标原点不对称
函数是非奇非偶函数.
若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性
如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：
函数是奇函数.
错误剖析：因为以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因。
综上所述，在确定函数关系式、最值（值域）、单调性、奇偶性等问题中，定义域起着至关重要的作用，若能思辨函数定义域有无改变（指对定义域为R来说），对解题结果有无影响，不忽略定义域在函数中的作用。就会避免解函数问题的一些错误。
参考文献：
[1]王岳庭主编.数学教师的素质与中学生数学素质的培养论文集.北京：海洋出版社.1998
函数值域篇4
一、直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1：求函数y=3-■的值域。
解：因为■≥0，
所以-■≤0，3-■≤3，
故函数的值域是:（-∞,3]。
二、图象法
利用函数的图象，直观地得出函数的值域。此方法广泛应用于一些分段函数的值域和求二次函数在闭区间上的值域。其关键在于能否准确作出函数的图象。
例2：求函数y＝x■-x-6（如图所示）,x∈-2,4的值域。
解：由函数图象得所求函数的值域为-6.25,6.
三、配方法
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。其关键在于能否正确地将二次函数式配成完全平方式。
例3：求函数y=■的值域。
解：由-x■+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2].此时-x■+x+2=-(x-■)■+■∈0,■，所以0≤■≤■，函数的值域是0,■。
四、判别式法
若函数式为分式结构，分子分母均为二次式，且函数的定义域为R，则可用此法.通常先将分式转化为一元二次方程，再由?驻≥0，确定y的范围，即得原函数的值域.
例4：求函数y=■的值域。
解：函数的定义域为R（?驻=(-1)■-4×1×1）=-3＜0，x■-x+1＞0恒成立).原函数化为关于x的一元二次方程为(y-1)x■+(1-y)x+y=0，由x∈R知上述方程一定有解，所以
（1）当y≠1时，?驻=(1-y)■-4y(y-1)≥0，
解得-■≤y≤1。
（2）当y=1时，1≠0，故y≠1。
综上，原函数的值域为[-■,1)。
评注：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域.常适应于形如y=■的函数。
五、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，常用代数代换或三角代换法，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如y=ax+b±■（a,b,c,d均为常数，且ac≠0）等。
例5：求函数y=x+■的值域。
解：令■=t(t≥0)，则x=t■+1，
所以y=t■+t+1=(t+■)■+■.又t≥0，
由二次函数的性质可知原函数的值域为[1,+∞)。
六、函数单调性法
首先确定函数的定义域，然后再根据函数在给定的区间上的单调性求值域.常用到函数y=x+■(p＞0)的单调性：增区间为(-∞,-■]和[■,∞)，减区间为[-■,0]和[0,■]。
例6：求函数y=2■+log■■(2≤x≤10)的值域。
解：令y■=2■，y■=log■■,
则y■,y■在[2，10]上都是增函数,
所以y=y■+y■在[2，10]上是增函数。
当x=2时，y■=2■+log■■=■；
当x=10时，y■=2■+log■■=33，
故所求函数的值域为：■,33。
例7：求函数y=x+■,x∈(0,5]的值域。
解：原函数的导数为y＇=1-■，其单调递增区间为[■,+∞)，单调递减区间为(0,■]，故原函数在x=■处取得最小值2■，在x=5处取得最大值■，所以原函数的值域为[2■,■]。
七、分离常数法
此方法适用于分式型函数,且分子、分母是同次,如y=■（a,b,c,d是常数，且ac≠0），这时通过拼凑,将分子进行常数分离。
例8：求函数y=■的值域。
解：由y=■=1-■≠1，可得值域y｜y≠1。
评注：此题也可利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域，即反函数法。
八、函数有界性法
利用函数的有界性：形如sinα=f（x）,x■=g（y），因为sinα≤1,x■≥0，可解出y的范围，从而求出其值域或最值.
例9：求函数y=■的值域。
解：由原函数式可得e■=■，
e■＞0，
■＞0，
解得-1＜y＜1。
故所求函数的值域为(-1,1)。
函数值域篇5
关键词：函数关系定义域思维品质
思维品质是指个体思维活动特殊性的外部表现。它包括思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性、思维的批判性和思维的敏捷性等品质。函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的两大要素之一，函数的定义域（或变量的允许值范围）似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的。
一、函数关系式与定义域
函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：
例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？
解：设矩形的长为x米，则宽为（50-x）米，由题意得：
故函数关系式为：.
如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：0
即：函数关系式为：（0
这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。
二、函数最值与定义域
函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大（小）值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：
例2：求函数在[-2，5]上的最值.
解：
当时，
初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。
其实以上结论只是对二次函数在R上适用，而在指定的定义域区间上，它的最值应分如下情况：
⑴当时，在上单调递增函数；
⑵当时，在上单调递减函数；
⑶当时，在上最值情况是：
函数在[-2，5]上的最小值是-4，最大值是12
这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。
三、函数值域与定义域
函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：
以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。
四、函数单调性与定义域
函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：
函数值域篇6
【关键词】高职数学教学函数学习抽象思维能力
【中图分类号】G642【文献标识码】A【文章编号】1674-4810（2014）26-0084-01
高职阶段数学教学的意义不仅仅体现在继续升学的方面，更重要的是能提高学生发现、分析与解决问题的能力，培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力与空间想象能力，帮助学生学会理性思考、理性判断，为专业课程的学习奠定坚实有力的基础。
高职数学知识点丰富，而函数概念是众多数学概念中最重要的概念之一，是高职数学的重点和难点。在课堂教学过程中，有不少学生反映函数的概念太抽象，从初中开始就是自己的“老大难”，以至于只要看到与函数有关的内容就害怕，宁愿选择回避。
函数的思想充分体现了集合、对应、映射等基本数学思想，这与中学数学中的数、式、方程等有密切联系。教师在函数教学中应该从概念的本质属性、概念的内涵和外延入手，加强概念形象理解，培养学生良好的思维习惯。
一函数概念的定义
传统定义：设有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数。
近代定义：设A，B都是非空集合，f：xy是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：AB就叫作函数，记作y=f（x）。
对函数概念的理解，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同。传统定义是从对应的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。定义都是文字和符号的连接，学生在理解时缺乏直观的认识，往往一知半解，此时需要让学生以自己独特的角度对函数概念形成理解，也有助于加深记忆。
如将函数y=f（x）的三要素与实际生活相联系，把“自变量x”看成是“待加工的货物”，把“因变量y”看成是“加工完成的产品”，把“对应法则f”看成是“加工时的工序”，把“（）”看成是“工厂的大门”。如此学生以自己的理解，将理论与现实中的实物联系起来。
二函数的定义域和值域
在函数y=f（x），x∈D中，自变量x的取值范围的集合D就是函数的定义域，而与x的值对应的y值就是函数值，函数值y的集合就是值域。
函数的定义域和值域考查的形式有很多，无论是选择题、填空题，还是解答题都会出现，是考试常考的内容，在求定义域、值域时我们会碰到各种不同类型的函数表达式，有些是我们熟悉的，有些相对比较复杂。同学们在遇到不熟悉的函数表达式时往往不知道应从何处下手。其实存在的问题都是心理紧张因素造成的，我们要理清思路，按部就班，掌握五大基本初等函数（反、对、幂、三、指）定义域、值域的特殊条件会有助于问题的解决。
第一，在求函数的定义域时，可以按照下面这几种方法来快速有效地判断和求解：（1）函数是整式时，自变量x可以取任意值，也就是定义域为全体实数所组成的集合。（2）函数是分式函数时，一定要注意，分母不能为0，那么定义域就是除使分母为零以外的一切实数所组成的集合。（3）如果函数是偶次根式时，就要注意被开方数不能为负；是奇次根式时，被开方数可以是任意实数。（4）当函数为指数函数和对数函数时，应尽量记住函数的大致图像，关注其在平面直角坐标系中的大体分布。（5）当函数为三角函数时，更应考虑其图像，特别注意正切函数其定义域与直线斜率的关系。（6）若函数中包含了若干个基本初等函数的四则运算，那么该函数的定义域很可能就是各基本初等函数的定义域的交集。
第二，值域的求法较之定义域的求法要复杂得多，更没有现成的结论，它必须通过不同的途径分析、观察、计算等才能求出不同函数的值域，通常有以下一些方法。（1）如果遇到的是熟悉的、学过的函数，可通过观察其图像直观判断出值域。（2）如果遇到不熟悉的、较复杂的函数，可通过“多点法”作出草图客观判断其值域。（3）通过求出函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性等性质，辅助判断其值域。（4）利用换元法把复杂函数转化为熟悉的函数来求值域。（5）部分函数可通过反函数法求定义域来求原函数的值域。
总之，学好函数首先需要弄清函数的概念，真正搞懂什么是函数，掌握基本初等函数的定义、性质、图像，把概念性的知识点转化为自己独有的理解，不但不容易遗忘，而且可以充分发掘学生的想象力和思维能力。
参考文献
[1]杨红.函数概念及表示方法的知识点总结[J].理科考试研究（高中版），2013（5）
[2]张玲艳、熊昌雄.高中函数概念学习的理论基础[J].宜宾学院学报，2007（12）
[3]张晓燕、房元霞、藏亚玲.函数概念的发展对教学的启示[J].聊城大学学报（自然科学版），2006（3）
