概率论(6篇)

概率论篇1

关键词：集合函数随机变量分布函数积分微分

中图分类号：TS1文献标识码：A文章编号：1672-3791（2013）03（a）-0242-02

微积分与概率论是两门非常重要的数学学科，均是高等学校理工专业的必修课程，为后续专业课提供必要的数学工具。虽然两者发展路径不太一样，但两者间确有着密切的关系，可以说微积分是概率论的地基，概率论是微积分的延续，大学课程里也是先开设微积分，后开设概率论，所以进一步揭示微积分在概率论中的渗透，并将微积分的思想与方法巧妙的应用到概率论的中去，是我们值得关注的问题，本文将从几个方面阐述微积分在概率论中的应用。

1集合在概率论中的应用

勒贝格积分建立了测度论与集合论之间的关系，从而有了概率论，而集合论与微积分之间是源和流的关系，可以说是微积分加速推动了概率论的形成。

概率论的主要研究对象是随机试验，随机试验的结果不唯一，把其所有结果组合在一起就构成了一个集合，也就是样本空间，我们关注的随机事件便成了这个集合的子集，本质上还是集合，后面便顺理成章的用集合间的关系与运算来处理事件间的关系与运算，早期数学家们研究的古典概型也是有限集合的应用，集合论的渗透使得概率论得到了突飞猛进的发展。

2函数在概率论中的作用

概率论中无处不渗透着微积分中的函数思想。

（1）随机事件。是一个集合，事件发生的概率就是定义在事件集上的一个集函数。

（2）随机变量是定义在样本空间上的一个集函数，是概率论最重要的概念之一，它实现了从样本空间到实数的一个过渡，从某种程度上结束了概率的古典概型时代，把概率论推上了更加宽广的道路。

（3）为一个随机变量，为一个实数，函数称为的分布函数，此函数也是概率论的又一重要概念，它描述了的取值规律性，并且具有非常好的函数性质：单调有界、可积、几乎处处连续、几乎处处可导等，因此微积分中的很多函数方法便可以顺利的进入概率论领域，此外连续型随机变量的概率密度也是概率论引入的另一重要函数。

概率，随机变量，分布函数与概率密度都是函数，在这些对应关系下，概率论的研究道路越走越顺畅，这也是微积分对概率论起到的至关重要的作用。

3积分、微分在概率论中的作用

连续型随机变量最大的亮点就是引入了概率密度函数，建立了概率与的关系，此关系的也可用分布函数与同时来表示：，在的连续点上，对上述表达式求导，即得：。

因此，概率论中连续型随机变量的相关问题从某种程度上转为了微积分问题，比如，连续型随机变量的概率，数学期望，方差等定义及其计算全部用微积分解决。

4微积分的计算方法在概率论中的作用

概率论的很多问题均转化为微积分问题，所以一些微积分计算方法便在概率论中得到了应用，现举例说明。

例1：设服从参数为的poisson分布，求其数学期望。

解：法一利用微积分殊函数的展开式。

5微积分在概率论中的其它一些应用

（1）分布函数的性质：看似两个简单的结论，其实严格证明还得用到微积分的极限问题；概率论中的大数定律与中心极限定理用到的也是微积分中的极限。

（2）概率论中多维连续型随机变量的函数的概率分布是一个难点，但引入合适的雅可比行列式可以将复杂的问题简单化。

（3）微积分中的一些特殊函数在概率论中也有着广泛应用，如函数，借用它，我们定义了概率论中的两个重要分布：分布与分布。

微积分有着几百年的历史，已经非常完善，也许这也是为什么数学家们用微积分解决概率论问题的原因之一，微积分确实推动了概率论这门学科的快速发展。反之，概率论的很多思想也可以用于解决复杂的微积分问题，希望我们可以发现更多的方法，用于两者的共同发展。

参考文献

[1]王大胄.例谈概率论与微积分的联系及相互间的应用[J].沈阳工程学院学报：自然科学版，2008，4（3）：283-286.

[2]刘淼.概率论与数学分析知识的相互作用[J].伊犁师范学院学报，2006，9（3）：5-9.

概率论篇2

关键字：概率论；；决策

【中图分类号】O211.9

引言

概率在生活中无处不在，比如公鸡打鸣，母鸡下蛋；太阳东边升起，西边落下等等，这种会发生的概率是百分百，不可能出现其它情况称为必然事件。但有些就不一定了，比如坐飞机会不会出事，明天会不会下雨等等，像这种事件发生的可能性是不确定的称为偶然事件或随机事件。不确定性也许会给人们生活带来烦恼，但因为有了概率论这门学科，使得用科学知识去了解一件事发生的可能性，让人们也能做出更好的选择。所以了解概率论在生活中的实际应用是很有必要的。

一、准备知识

1、古典概型：（1）

2、数学期望[1]：设连续型随机变量X的密度为f（x），若广义积分

绝对收敛，则称此积分为X的数学期望，记作E（X），即（2）

3、泊松分布[2]：如果在足够多的n次独立伯努利试验中，随机变量X所有可能的取值为0，1，2，…，取各个值的概率为.....（3）

4、互斥事件[2]：事件A与B不可能同时发生，这种不可能同时发生的事件叫做互斥事件，概率公式为（4）

5、正态分布[2]：若连续型随机变量X的概率密度函数为，（5），其中为常数，则称X服从参数为的正态分布，记为X～N.

二、概率论在实际生活中的应用

1、福利中的概率分析

例1[3]：号码由6个红色球号码和1个蓝色球号码组成。红色球号码从01-33中选择；蓝色球号码从01-16中选择。

2、经济决策问题

例2[3]：某服装店每周进货数量在10件到30件中某一整数，假设服装店每周需求量设为X服从[10，30]上均匀分布的随机变量。已知该服装店每件获利500元；若衣服供不应求，可从其他店调货，但此时每件仅获利300元，若供大于求则削价处理，每处理一件亏损100元。问应如何确定最少进货量才能使该服装店所获利润不少于9280元。

结束语

本文就从概率论一些理论依据，结合在实际生活中的各种应用举例作了论述。进而了解到了概率论在实际生活中用处广泛，在这篇论文里只举了一些日常生活中很常见的例子，概率论在其它方面也有涉及，比如保U决策问题等等方面，更加意识到用数学方法来解决实际问题是多么的重要与有效。

参考文献

[1]唐秋晶等.数学期望的几种求法[J].洛阳师范学院学报.2000，（05）

概率论篇3

在数学的历史发展过程中出现了3次重大的飞跃．第一次飞跃是从算数过渡到代数，第二次飞跃是常量数学到变量数学，第三次飞跃就是从确定数学到随机数学．现实世界的随机本质使得各个领域从确定性理论转向随机理论成为自然；而且随机数学的工具、结论与方法为解决确定性数学中的问题开辟了新的途径．因此可以说，随机数学必将成为未来主流数学中的亮点之一．概率论作为随机数学中最基础的部分，但是教学过程中存在的一个主要问题是：学生们往往已经习惯了确定数学的学习思维方式，认为概率中的基本概念抽象难以理解，思维受限难以展开．这些都使得学生对这门课望而却步，因此如何在概率论的教学过程中培养学生学习随机数学的思维方法就显得十分重要．本文拟介绍我们在该课程教学中的改革尝试，当作引玉之砖．

1将数学史融入教学课堂在概率论教学过程当中，介绍相关的数学史可以帮助学生更好地认识到概率论不仅是“阳春白雪”，而且还是一门应用背景很强的学科．我们知道概率论中的古典概型要求样本空间有限，而几何概型恰好可以消除这一条件，这两种概型学生理解起来都很容易．但是继而出现的概率公理化定义，学生们总认为抽象、不易接受．为了使学生更好的理解这一概念，我们可以引入几何概型的一点历史来介绍为什么要建立概率的公理化定义，为什么需要σ代数．几何概型是19世纪末新发展起来的一种概率的计算方法，是在古典概型基础上进一步的发展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸．1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”[3]，矛头直指几何概率概念本身．这个悖论是：给定一个半径为1的圆，随机取它的一条弦，问：弦长不小于3的概率为多大？对于这个问题，如果我们假定端点在圆周上均匀分布，所求概率等于1/3；若假定弦的中点在直径上均匀分布，所求概率为1/2；又若假定弦的中点在圆内均匀分布，则所求概率又等于1/4．同一个问题竟然会有3种不同的答案，原因在于取弦时采用了不同的等可能性假定！这3种答案针对的是3种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的．因此在使用“随机”、“等可能”、“均匀分布”等术语时，应明确指明其含义，而这又因试验而异．也就是说我们在假定端点在圆周上均匀分布时，就不能考虑弦的中点在直径上均匀分布或弦的中点在圆内均匀分布所对应的事件．换句话讲，我们在假定端点在圆周上均匀分布时，只把端点在圆周上均匀分布所对应的元素看成为事件．

2广泛运用案例教学法.案例与一般例题不同，它有产生问题的实际背景，并能够为学生所理解．案例教学法是将案例作为一种教学工具，把学生引导到实际问题中去，通过分析和讨论，提出解决问题的基本方法和途径的一种教学方法．

3引导学生主动探索.传统的教学方式往往是教师在课堂上满堂灌，方法单一，只重视学生知识的积累．教师是教学的主体，侧重于教的过程，而忽视了教学是教与学互动的过程．相比较而言，现代教学方法更侧重于挖掘学生的学习潜能，以最大限度地发挥及发展学生的聪明才智为追求目标．例如，在给出条件概率的定义以后，我们知道当P(A)>0时，P(B|A)未必等于P(B)．但是一旦P(B|A)=P(B)，也就说明事件A的发生不影响事件B的发生．同样当P(B)>0时，若P(A|B)=P(A)，就称事件B的发生不影响事件A的发生．因此若P(A)>0，P(B)>0，且P(B|A)=P(B)与P(A|B)=P(A)两个等式都成立，就意味着这两个事件的发生与否彼此之间没有影响．我们可以让学生主动思考是否能够如下定义两个事件的独立性：定义1：设A，B是两个随机事件，若P(A)>0，P(B)>0，我们有P(B|A)=P(B)且P(A|B)=P(A)，则称事件A与事件B相互独立．接下来，我们可以继续引导学生仔细考察定义1中的条件P(A)>0与P(B)>0是否为本质要求？因此P(AB)=0=P(A)P(B)，等式仍然成立．所以我们可以舍去定义1中的条件P(A)>0，P(B)>0，即如下定义事件的独立性：定义2：设A，B为两随机事件，如果等式P(AB)=P(A)P(B)成立，则称A，B为相互独立的事件，又称A，B相互独立．很显然，定义2比定义1更加简洁．在这个定义的寻找过程中，我们不仅能够鼓励学生积极思考，而且可以很好地培养和锻炼学生提出问题、分析问题以及解决问题的能力，从而体会数学思想，感受数学的美．

通过实践我们发现，将数学史引入课堂既能让学生深入了解随机数学的形成与发展过程，又切实感受到随机数学的思想方法；把案例应用到教学当中以及在课堂上开展随机试验可以将概率论基础知识直观化，增加课程的趣味性，易于学生的理解与掌握；引导学生主动探索可以强化教与学的互动过程，激发学生用数学思想来解决概率论中遇到的问题．总之，在概率论的教学中，应当注重培养学生建立学习随机数学的思维方法，通过教学手段的多样化以及丰富的教学内容加深学生对客观随机现象的理解与认识．另外，要以人才培养为本，实现以教师为主导，学生为主体的主客体结合的教学思想，将培养学生实践能力、创新意识与创新能力的思想落到实处，以期达到学生受益最大化的目标，为学生将来从事经济、金融、管理、教育、心理、通信等学科的研究打下良好的基础．

概率论篇4

关键词：概率统计；数理统计；教育

中图分类号：G632文献标识码：B文章编号：1002-7661（2015）09-125-01

概率论与数理统计是一门研究随机现象统计规律性的学科，教学内容较多，难度较大，而教学时数少，因此，如何提高概率论与数理统计课程的教学质量是探讨的热点，笔者从以下四个方面作出了探索。

一、重视高中内容与大学内容的衔接

高中数学中随机事件，频率与概率，古典概型与几何概型，条件概率与事件的独立性，数学期望和方差等内容【1】与大学概率的内容有所重复。因此在讲解这些内容时，可以由学生来讲解高中部分的知识，在这个基础上，教师再作出适当的拓展。这样教学的重点就得以体现，概念的讲解也不显得突兀。

二、重视实例的引入

在概率论与数理统计教学中，有许多抽象枯燥的知识点，在讲解的过程中学生易出现不愿思考和焦虑的现象。教师要注重实例的选择，选择的实例既要与时俱进，又要充分与专业相联系。笔者所在的是军事院校，所以在选择实例时具有军事特色。例如，在讲解数学期望的时就引入航母得平均维修费用；在讲解贝叶斯公式时，引入武器装备损伤性的分析和大家都熟悉的“孩子和狼”的故事中，村民对这个孩子的可信度时如何下降的；这些实例来源于学生熟悉的军事生活，从而大大激发了学生学数学用数学的兴趣。

三、重视绪论课

好的开始是成功的一半。绪论课的成功与否关系到能否调动学生学习这门课的兴趣。绪论课一般包含以下几方面的内容：第一介绍概率论的起源与发展；第二介绍本课程的内容体系以及解决的问题，给学生一个全局的印象，知道概率将学习哪些内容；第三从生活实例出发，给学生一个直观的认识，了解到概率来源于生活。

四、弱化计算技巧，重视应用

概率论与数理统计的传统教学，重视计算技巧，推理和证明，教材中有大量的例题和习题，教师因为课时的限制想做到面面俱到实属难事，常常说：要授之予渔。因此，教师必须对教材上的知识进行探索归纳总结，以点带面，重视思想方法的教学，淡化计算过程。特别是连续性随机变量的知识点要用到高等数学中的定积分，变上限积分，二重积分以及级数的知识，学生这些知识难免会遗忘，笔者在教学中的处理方法是适当的复习补充，再辅助matalab的应用。

概率论与数理统计的应用部分在数理统计，但是目前因为课时，大多数院校的教学中心在概率论的知识，部分院校在削减了学时后，只学概率而不涉及统计。而且统计这部分内容公式繁多，计算量大，很多学生学完之后不知道如何应用。笔者结合这两年的数学建模题讲解统计学的原理，例如结合葡萄酒的分析，讲解了数据的处理，总体的估计，置信区间等内容，

为了培养学生的应用能力，笔者经常从一个比较简单的实际问题出发，通过分析整理以及数学的抽象，建立一个概率模型，通过对这个模型概率性质的研究，再应用到更复杂的实际问题中，这样充分培养了学生学数学用数学的能力。

概率论篇5

一、概率的三种定义的理解

概念对于数学课程的学习至关重要,概率论与数理统计中的概念也不例外，从一开始就要引导同学们重视理解概念。

比如在第一章中，一般都提到了概率的三种定义：统计定义（即用频率来定义），古典定义（对于古典概型来说），公理化定义（Kolmogrov首先提出）。动脑筋的同学自然会想它们到底有什么关系，各自有什么特点。统计定义是最符合人们直观感觉的一种定义，用大量重复中事件出现的频率作为其概率（在这里要承认频率具有稳定性，这是概率论存在的经验基础），在很多应用中的确是这样用经验来估计概率的，那么它跟古典定义的结果是一致的吗。可以这样理解：古典定义只能针对古典概型，即试验中只有有限多的结果，且它们等可能发生（这本身也是基于经验的），就是说根据经验，大量重复试验后，发生的频率的确趋向于古典概型中的定义。这样两者是不矛盾的。而概率的公理化定义是从理论角度抽象出来的，它不管当前考虑的是什么实际问题，不论考虑的概率是掷硬币还是掷筛子，它从大量的问题中提炼出概率应该具有的共性，当然公理的三条是符合人们的直观认识的。注意它并不给出一个实际问题中某事件的确切概率是多少，它的伟大意义在于为整个概率论的建立奠定了严密的公理基础，在此基础上人们可以展开推理，得出许多有用的结果，让概率理论更加繁荣，解决实际问题的威力更加强大。通过这样的一些解释，同学们的一些疑惑就会有所释怀。

二、大数定律与中心极限定理的理解

大数定律和中心极限定理是概率统计理论中极为重要的两个定理，也是很多实际应用的理论基础.同时这两个定理是概率统计这门课程中同学们感到最难理解的部分。因此教师在此处更应耐心细致的,循序渐进的把它们解释清楚。下面的做法可以考虑。首先，告知同学们这两个定理并不是凭空产生的，它们跟概率统计中其他很多结论一样，都是有其直观背景的。它们只是把现实中很多常见的现象，人们司空见惯、习以为常的规律用严格的数学形式化语言加以表述。因此不要以为它们不食人间烟火的纯粹抽象的东西。这样，减少同学们思想上的畏难情绪，充满信心的去理解它们。然后，概括性的阐明这两个定理的意思分别是什么。使学生抓住定理的关键,明白定理所要表达的主要内容。例如:大数定律主要讨论n个随机变量的均值随着n趋于无穷大的极限为什么；中心极限定理研究的是随机变量的和随着n趋于无穷大时的分布如何的问题。接下来，就可具体介绍两个定理的严格的表述了。当然，在讲大数定律之前需要切比雪夫不等式。因此先介绍切比雪夫不等式，并举几个简单例子加深理解。

在讲述了两个定理的具体内容之后，很重要的一点是再解释一下它们的直观意义。现实中人们的很多做法其实是有意或无意的利用的大数定律。比如我们经常把某个量反复测量后取平均值来作为真实值，而不是只用一次的观察值。中心极限定理则解释了为什么很多变量服从或近似服从正态分布。比如，一城市每天用水（电）量，它是由许多户家庭的用水（电）量之和，由中心极限定理可知应近似服从正态分布。

概率论篇6

《概率论与数理统计》是一门注重理论的数学课程，在教学中让学生掌握基本理论是必要的，但在教学过程中也不能仅仅以此作为目标。那么，一方面，在教学中我们就要做到有取有舍，基本的定理和公式要讲清楚，而对于这些定理和公式的证明可以对学生降低要求，通过多举例子，多给实际案例，让学生学会使用这些公式和定理;另一方面，将一部分学时单独列为实践学时，目前数学软件在统计领域的使用非常广泛，比如常见的:Mtlab、SAS、SPSS等，在教学中将理论与相关数学软件相结合，进行上机教学。让学生通过实践认识到本门学科在实际中如何应用，也让学生能够掌握一到两门数学软件的使用，方便他们今后专业学习。

二、结合专业，注重案例教学

在地质类专业中，很多实际问题都直接用到了《概率论与数理统计》中的内容，比如:区间估计、假设检验、参数估计等，都是在地质类专业教学中常用的数理统计方法。那么，我们在《概率论与数理统计》的课堂教学中就可以有的放矢地将地质类学科中的案例与数理统计中的这些方法相结合，把地质学中的实际问题当作例子在《概率论与数理统计》课堂中进行讲解，地质类专业的案例在很多时候就是在具备专业背景下的统计学的应用，用这类问题来替换课本上枯燥的数学例子，一方面可以增强课堂的趣味性，提高学生的学习兴趣和积极性，另一方面也为将来学生在专业课中使用概率论与数理统计知识打下基础，帮助学生顺利地完成从基础课到专业课的自然过渡。

三、将数学建模的思想融入日常教学中