三角函数范例(3篇)
三角函数范文篇1
一、考查三角函数的概念及同角关系式
此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号法则，解题过程中注意是否要进行必要的分类讨论?郾
例1（全国Ⅰ卷理2）记cos（-80°）=k，那么tan100°=（）
A?郾■?摇?摇B?郾-■?摇?摇C?郾■?摇?摇D?郾-■
分析本题已知余弦的值，求tan100°的值，可利用同角关系式求出?郾
解sin80°=■=■=■，
tan100°=-tan80°=-■=-■．故选B?郾
点评本题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互化这一转化思想的应用?郾同时要求熟练掌握三角函数在各象限的符号?郾
二、三角函数的化简与求值
这类题主要考查三角函数的变换?郾解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值?郾
例2（重庆文15）如图1，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P（点P不在C上）且半径相等?郾设第i段弧所对的圆心角为αi（i=1，2，3），则cos■cos■-sin■sin■=?郾
分析以三角函数式的化简为基础的综合题是高考题的热点，每年必考，一般是中档题，题型既有选择题、填空题，也有解答题．主要解题方法是充分运用“异角化同角”“同角三角函数关系”“诱导公式”及“和、差、倍、半角的三角函数公式”．
解cos■cos■-sin■sin■=cos■，
又α1+α2+α3=2π，
cos■=-■?郾故填-■?郾
点评本题以过同一点的三段圆弧为背景，考查三角恒等变形中公式逆用的基本技巧，只要将已知与求解合理转化，就能达到准确求解的目的?郾
三、y=Asin（ωx+φ）的图象和性质
图象变换是三角函数考查的重要内容，解决此类问题的关键是正确理解A、ω、φ的意义，特别是ω的判定，以及伸缩变换对φ的影响．
例3（辽宁理5）设ω＞0，函数y=sin（ωx+■）+2的图象向右平移■个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）
A?郾■?摇?摇B?郾■?摇?摇C?郾■?摇?摇D?郾3
解将y=sin（ωx+■）+2的图象向右平移■个单位后为
y=sin［ω（x-■）+■］+2=sin（ωx+■-■）+2，
■=2kπ，即ω=■?郾
又ω＞0，k≥1，
ω=■≥■?郾
故选C?郾
点评本题考查三角函数图象的平移变换与三角函数的周期性，考查同学们对三角函数图象知识灵活掌握的程度．
四、三角形中的三角函数
此类题主要考查三角函数在三角形中的运用?郾解三角形的关键是在转化与化归的数学思想的指导下，正确、灵活地运用正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角形内角和等公式、定理?郾
例4（天津理7）在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2-b2=■bc，sinC=2■sinB，则A=（）
A?郾30°?摇?摇B?郾60°?摇?摇C?郾120°?摇?摇D?郾150°
分析解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算．通过恰当地使用正弦、余弦定理将有关的边角确定，从而解决问题．
解由正弦定理得■=■，则c=2■b，
所以cosA=■=■=■=■?郾
又因为A是ABC的内角，所以A=30°?郾故选A.
点评本题是解三角形知识的综合应用.一般地，求角时，应先求出它的一个三角函数值，然后根据范围确定其值．
五、三角应用题
解决三角应用题的关键是认真阅读题目，正确理解题意，运用所学知识建立适当的三角模型，准确无误地计算．
例5（北京文7）某班设计了一个八边形的班徽（如图2），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（）
A?郾2sinα-2cosα+2B?郾sinα-■cosα+3
C?郾3sinα-■cosα+1D?郾2sinα-cosα+1
解四个等腰三角形面积之和4×■×1×1×sinα=2sinα，
由余弦定理可得正方形的边长为■=■，
正方形的面积为2-2cosα，
所求八边形的面积为2sinα-2cosα+2?郾
故选A.
点评本题主要考查解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．
六、三角函数的最值及综合应用
此类问题主要考查三角函数最值和与三角函数有关学科内综合问题，如与平面向量、不等式、数列、解析几何等相结合，多为解答题．而三角形中三角函数最值问题仍将是高考的热点．
例6（湖南文16）已知函数f（x）=sin2x-2sin2x?郾
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的最大值及f（x）取最大值时x的集合．
分析求函数的最小正周期和最大值都应先化简，求出函数的最小正周期，再根据三角函数的有界性确定函数最大值．
解（Ⅰ）f（x）=sin2x-（1-cos2x）=■sin（2x+■）-1，
函数f（x）的最小正周期为T=■=π?郾
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当2x+■=2kπ+■，即x=kπ+■（k∈Z）时，f（x）取最大值■-1?郾
故函数f（x）取最大值■-1时，x的集合为｛x|x=kπ+■（k∈Z）｝?郾
三角函数范文
关键词：三角变换公式方法应用
【中图分类号】G633.6
在三角函数的化简、求值和证明中都需要三角函数的变换，这就要求我们熟记三角公式以及一些基本的化简方式和方法，三角恒等变换主要包括三角函数的结构形式和角度的变换。为此，要提高学生的运算能力，必须做到：
一、学生熟练地掌握计算公式。1、要求学生自己推导两角和与差、二倍角的正余弦公式。除了对公式结构的掌握，也要会对角度进行变换。例如：sin2a=2sina*cosa，可以变换sina=sina/2*cosa/2等。2、公式的逆用。当学生对于公式的正用掌握比较熟练时，为了强化公式的掌握教师可以采用题组的方法，训练学生公式的逆用，例如：cosa*cosb-sina*sinb=？Cosa*cosb+sina*sinb=？Cos720cos240+sin720sin240=？Sina/2cosa/2=？
2cos2a-1=？2cos222.50+1=？等。3、利用化归思想进一步训练学生对公式的掌握。例如：1/2cosa+√3/2sina=？引出一般Asinb+Bcosb=√A2+B2sin（b+a）
二、学生熟练掌握角的变化。为了提高学生的运算能力，除了熟练掌握公式外，还要学会在计算中对于角度的整体把握。例如：已知：sina=4/5，cos（a+b）=-3/5，a，b∈（0，∏/2）求：sinb
给出题目后，让学生先进行计算，程度较好的学生可能就不会走这条路线，根据题目条件求出cosa，再求出cosb.这样的话费时费力，引导学生从角的结构入手，发现b=a+b-a从整体去把握。还有2a=（a+b）+（a-b），2b=（a+b）-（a-b）等，还有很多，在教学中要引导学生注意这些角度的变化，在实际解题中能够提高学生的运算水平。
三、学生注意角的范围变化，在运算中对角的取值范围变化设计陷阱，用试误法提高学生的警觉，以利于学生运算的准确性。在教学中充分发挥学生的主动性，培养学生的观察能力，比较公式的结构特点，角度的变化，在三角恒等变换的学习中，学生定能取得好的成绩。
因为方法多样，灵活，学生感到困难，针对这个问题，我在三角函数这一章的讲课和复习中，选择典型例题，讲清三角函数式变换的方法和技巧，并布置适当练习作业，巩固和掌握三角函数式变换的方法和技巧，以达到学生能熟练正确的解决三角函数问题的目的，今将这部分内容归纳整理如下：
一、三角变换在求值中的应用
例1.求的值.
在利用三角变换化简的过程中主要是对角和三角函数名的化异为同，本道题主要是针对角而言的，对于这种情况关键还是要能观察出角与角之间的关系，然后根据角的“异”通过公式化成角的“同”，也就是我们熟悉的形式，然后进行求解。再例如：已知，且，，求。
分析：发现所求角与已知角有如下关系：，）.从而将倍角化为和差角.
解：由，得
又因为，得.
所以
所以
点评：充分利用条件，将2，2转化为和差角，再运用公式.
二、三角变换中“1”的恒等变形
三角函数值为1和含有1的三角公式不少，如
等，在恒等变形中巧妙利用1会找到简捷解法的。
再例如：化简都需要将1变形.又例如：已知sinx+siny=1，求cosx+cosy的最大值，这时就需要将1整体代换，即：令t=cosx+cosy，
于是我们有
所以，又因为，故，则所求最大值为.
当然，不能每见到1就想到三角变换，这是根据实际问题而考虑的，有的时候并不需要1的恒等变形，如：求函数f（x）=sin2x-sinx+1等这样定义域与1无关的问题中。
三、三角变换在证明问题中的体现
证明问题常常用综合法、分析法，但有时也还是离不开三角变换。如例4：
解答：先用分析法探索证明思路，假设
然后用综合法写出证明即可。
在证明问题中，三角变换时也是从“角”和“形”两方面入手，然后结合分析法和综合法解决问题。再例如：
四、三角函数变换在函数求值域、单调性、对称等问题中的应用
例5.已知函数f（x）=2cos2x+sin2x+m（mR）.若x[0，]，且f（x）的最小值是2，求m的值.
解：由已知得f（x）=1+cos2x+sin2x+m=2sin（2x+）+m+1.当x[0，]时，2x+[，]，此时当2x+=时，f（x）的最小值是+m+1=2，m=2.
点评：这类题目解决的思路是把问题化归为的形式，一般而言，，但若附加了x的取值范围，最好的方法是通过图象加以解决.但不管是求值域问题，最值问题还是单调性、对称性问题在三角函数中都常常需要进行三角变换后才能完成。
再例如：求函数g（x）=sin2x+2sinxcosx-cos2x+1值域、单调增区间、对称中心
也是需要先进行三角变换之后再解决问题。
在三角函数求值域的问题中常常需要进行三角变换使之成为我们所熟悉的同名函数型，然后才能求解，这说明三角变换贯穿整个三角函数，是解决任何三角问题的基础和枢纽，所以，在学习中，我们必须要认真对待，发现和体会它的作用与技巧掌握它的要领，这样在学习三角函数的过程中才不会觉得难或无意义。
三角函数范文
【关键词】三角复合函数；分解函数法；中学教学
三角函数形成的复合函数的最值的探究是历年高考命题的一个热点，笔者认为：若y是x的复合函数求最值，首先可引入中间变量，写出组成复合函数的基本函数，即把复合函数分解为几个基本函数；其次由x的取值范围求出中间变量的取值范围，由中间变量的取值范围求出y的取值范围；最后根据y的取值范围直接写出原函数最值.这种求其复合函数最值的方法简单易行，笔者把它命名为分解函数法.
例1（2014・天津）已知函数f（x）=cosx・sinx+π3-3cos2x+34，x∈R.
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在闭区间-π4，π4上的最大值和最小值.
解f（x）=cosx・sinx+π3-3cos2x+34=cosx・12sinx+32cosx-3cos2x+34
=12sinxcosx-32cos2x+34=14sin2x-34cos2x=12sin2x-π3.
（Ⅰ）f（x）的最小正周期T=2π2=π.
（Ⅱ）设y=12u，u=sinv，v=2x-π3，
因为-π4≤x≤π4，所以-5π6≤v≤π6，从而-1≤u≤12，于是-12≤y≤14，
因此，f（x）在闭区间-π4，π4上的最大值为14，最小值为-12.
点评在（Ⅱ）中，求三角函数形成的复合函数f（x）的最值时，引入了中间变量u，v
把复合函数最值问题转化为三个基本函数的值域问题加以解决.这种方法充分体现了数学的简洁美、奇异美及转化思想，具有很强的操作性.
例2（2014・江西）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈-π2，π2.
（Ⅰ）当a=2，θ=π4时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；
（Ⅱ）若fπ2=0，f（π）=1，求a，θ的值.
解（Ⅰ）当a=2，θ=π4时，
f（x）=sinx+π4+2cosx+π2=22（sinx+cosx）-2sinx=22cosx-22sinx=sinπ4-x
设y=sinu，u=π4-x，
因为0≤x≤π，所以-3π4≤u≤π4，于是-1≤y≤22，
因此，f（x）在区间[0，π]上的最大值为22，最小值为-1.
（Ⅱ）由θ∈-π2，π2，得cosθ≠0，
由fπ2=0，得cosθ（1-2asinθ）=0，1-2asinθ=0，即sinθ=12a，①
由f（π）=1，得2asin2θ-sinθ-a=1，②
联立①②，结合a∈R，θ∈-π2，π2，解得a=-1，θ=-π6.
点评该例（Ⅰ）中，函数f（x）实际上是三；角函数形成的复合函数，求其最值时，采
