三角形中线定理范例(3篇)

三角形中线定理范文

一、“遇到中点连中点”，直接构造中位线

例1已知：如图1，在四边形ABCD中，

AB=DC，点E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点.猜想：

EF与GH有怎样的特殊的关系？试证明你的猜想.

分析：EF与GH的特殊关系，可以从两个方面来观察与思考：一是是否有特殊的位置关系，图中EF与GH是相交线段，则它们是否互相垂直；二是大小关系，显然EF与GH不会相等，但可以互相平分.

解：猜想：EF与GH互相垂直平分.

证明：连结EG、GF、FH、HE.

在ABD中，因为AE=DE，BG=DG，所以EG=

12AB.

同理GF=12CD，FH=12AB，HE=

12CD.

又因为AB=CD，所以EG=GF=FH=HE.

所以四边形EGFH是菱形，所以EF与GH互相垂直平分.

说明：“遇到中点连中点”，本题通过连结中点，由此构造出三角形的中位线，从而利用中位线定理解决问题.

图1图2

二、有中位线无三角形时，添线补全三角形

例2已知：如图2，在梯形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，

NE∥DM交BC于点E，连结ME.

求证：ME=DN.

分析：由M、N分别是AB、CD的中点，知

DN=12DC.因此，欲证

ME=DN，只需要证ME=12DC，联想三角形中位线定理，考虑延长

DM交CB的延长线于点P，构造出三角形中位线基本图形，由三角形中位线定理，问题便可得证.

证明：延长DM交CB的延长线于点P.

因为AD∥BC，所以∠ADM=∠BPM.

因为∠AMD=∠BMP，AM=BM.所以AMD≌BMP.

因为DN=CN，NE∥DP，所以CE=PE，所以ME=12DC=DN.

说明：在证明四边形中有关边、角相等的问题时，常常是把边、角构造为三角形中的边、角来解决.若题设中有中点条件、线段的两倍或一半关系，则可考虑中位线，当条件不完备时，可以作辅助线构造中位线，为使用中位线定理创造条件.

三、有中点无中位线时，取中点连中位线

图3

例3已知：如图3，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O、E、F分别是

AD、BC的中点，EF交AC、BD于点M、N.求证：OM=ON.

分析：要OM=ON，只需要证

∠OMN=∠ONM，由E、F分别是AD、BC的中点，联想三角形中位线定理，考虑取AB中点P，并连结EP、FP，构造出三角形中位线基本图形，易证

PE=PF，再由平行线的性质，便可证得结论.

证明：取AB中点P，连结

EP、FP，则EP、FP分别是ABD、ABC的中位线，

所以PE=12BD，PF=12AC，

因为AC=BD，所以PE=PF，所以∠PEF=∠PFE，

又因为PE∥BD，PF∥AC，

所以∠OMN=∠PFE，∠ONM=∠PEF，所以∠OMN=∠ONM，所以OM=ON.

说明：在三角形（或梯形）中，如果已知一边（或一腰）的中点，常常取另一边（或另一腰）的中点，以构造出中位线定理的基本图形来解决有关问题.

四、仅有中点时，先构造三角形，再构造中位线

图4

例4已知：如图4，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N.

求证：∠BME=∠CNE.

分析：先连结BD构造出三角形，再取BD中点H，连结

HE、HF，构造出三角形中位线基本图形，易证

HE=HF，从而∠1=∠2，再由平行线的性质，便可证得

∠BME=∠CNE.

证明：连结BD，取BD中点H，连结HE、HF，

因为F是AD的中点，

所以HF∥AB，HF=12AB，

所以∠1=∠BME，

同理：HE∥CD.HE=12CD，

所以∠2=∠CNE.

因为AB=CD，所以HF=HE，∠1=∠2，所以∠BME=∠CNE.

三角形中线定理范文篇2

一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC≌ADC的是（）A．CB=CDB．∠BAC=∠DACC．∠BCA=∠DCAD．∠B=∠D=90°2．下列说法中，错误的是（）A．任意两条相交直线都组成一个轴对称图形B．等腰三角形最少有1条对称轴，最多有3条对称轴C．成轴对称的两个三角形一定全等D．全等的两个三角形一定成轴对称3．下列各组数是勾股数的是（）A．12、15、18B．0.3、0.4、0.5C．1.5、3、2.5D．12、16、204．一个三角形的三个外角之比为3：3：2，则这个三角形是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等边三角形5．和三角形三条边距离相等的点是（）A．三条角平分线的交点B．三边中线的交点C．三边上高所在直线的交点D．三边的垂直平分线的交点6．如图，三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DEAC，DFAB，垂足分别为E，F，下面四个结论：①∠AFE=∠AEF；②AD垂直平分EF；③；④EF一定平行BC．其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）7．在等腰三角形ABC中，∠A=120°，则∠C=．8．等腰三角形的两边长为4，9．则它的周长为．9．已知ABC的三边长分别为9、12、15，则最长边上的中线长为．10．如图，一张长方形纸片宽AB=8cm，长BC=10cm，现将纸片折叠，使顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），则EC=．11．已知如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，则∠EAB是度．12．小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1m，当他把绳子下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为米．13．如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积分别是为1、13，则直角三角形两直角边和a+b=．14．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=9cm，CF=5cm，则BD=cm．15．如图，D是等边ABC的AC边上的中点，点E在BC的延长线上，DE=DB，ABC的周长是9，则∠E=°，CE=．16．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D是AB的中点，E、F在射线AC与射线CB上运动，且满足AE=CF；当点E运动到与点C的距离为1时，则DEF的面积=．三、解答题（共10小题，满分102分）17．作图一：如图1，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE．（1）在图中画出AEF，使AEF与AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点；（2）请直接写出AEF与四边形ABCD重叠部分的面积．作图二：如图2，ABC与DEF关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在图2中作出直线l．（保留作图痕迹）18．如图，已知在ABC中，CDAB于D，AC=20，BC=15，DB=9．求∠ACB的度数．19．如图，ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D．①若BCD的周长为8，求BC的长；②若BD平分∠ABC，求∠BDC的度数．20．已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DEAB于点E，DFAC于点F，求证：DE=DF．21．如图所示，A、B两村在河岸CD的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为AC=1km，BD=3km，又CD=3km，现要在河岸CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用．22．如图，在ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断AFC的形状，并说明理由．23．如图，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点．求证：MNBD．24．如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，ADDE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．（1）求证：∠FMC=∠FCM；（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．25．如图，在RtABC中，∠B=90°，AC=100cm，BC=80cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，同时，另一点Q由点B开始沿BC边向点C以1.5cm/s的速度运动．（1）20s后，点P与点Q之间相距cm．（2）在（1）的条件下，若P、Q两点同时相向而行，秒后两点相遇．（3）多少秒后，AP=CQ？26．如图，已知点A是线段OB的垂直平分线上一点，ANON，BOON，P为ON上一点，∠OPB=∠OAB．（1）若∠AOB=60°，PB=4，则OP=；（2）在（1）的条件下，求证：PA+PO=PB；（3）如图②，若ON=5，求出PO+PB的值．2014-2015学年江苏省泰州市高港实验中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC≌ADC的是（）A．CB=CDB．∠BAC=∠DACC．∠BCA=∠DCAD．∠B=∠D=90°考点：全等三角形的判定．分析：本题要判定ABC≌ADC，已知AB=AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定ABC≌ADC，而添加∠BCA=∠DCA后则不能．解答：解：A、添加CB=CD，根据SSS，能判定ABC≌ADC，故A选项不符合题意；B、添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定ABC≌ADC，故B选项不符合题意；C、添加∠BCA=∠DCA时，不能判定ABC≌ADC，故C选项符合题意；D、添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定ABC≌ADC，故D选项不符合题意；故选：C．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2．下列说法中，错误的是（）A．任意两条相交直线都组成一个轴对称图形B．等腰三角形最少有1条对称轴，最多有3条对称轴C．成轴对称的两个三角形一定全等D．全等的两个三角形一定成轴对称考点：轴对称图形．分析：根据轴对称图形，轴对称的定义和性质分析找出错误选项．解答：解：A、正确，任意两条相交直线的夹角平分线是其对称轴，都能组成一个轴对称图形．B、正确，等腰三角形有1条对称轴，等腰三角形三条边都相等时有3条对称轴；C、正确，根据成轴对称的性质可知；D、错误，全等的两个三角形不一定成轴对称．故选D．点评：本题考查了轴对称图形，轴对称以及对称轴的定义和应用．关于某条直线对称的一个图形叫轴对称图形．直线两旁的部分能够互相重合的两个图形叫做这两个图形成轴对称．3．下列各组数是勾股数的是（）A．12、15、18B．0.3、0.4、0.5C．1.5、3、2.5D．12、16、20考点：勾股数．分析：根据凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数是勾股数，分别对每个选项进行验证即可解题．解答：解：A、122+152≠182，A错误，B、0.32+0.42=0.52，但0.3、0.4、0.5不是正整数，B错误；C、1.52+2.52≠32，C错误；D、122+162=202，D正确；故选D．点评：本题考查了勾股数的判定，根据勾股数是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数解题是解题的关键．4．一个三角形的三个外角之比为3：3：2，则这个三角形是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等边三角形考点：三角形的外角性质．分析：根据三角形的外角和等于360°求出三个外角，再求出三个内角，即可得出答案．解答：解：三角形的三个外角之比为3：3：2，三角形的三个外角的度数为：135°，135°，90°，三角形对应的内角度数为45°，45°，90°，此三角形是等腰直角三角形，故选B．点评：本题考查了三角形的外角和三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出各个内角的度数．5．和三角形三条边距离相等的点是（）A．三条角平分线的交点B．三边中线的交点C．三边上高所在直线的交点D．三边的垂直平分线的交点考点：角平分线的性质．分析：题目要求到三边距离相等，可两两分别思考，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得答案．解答：解：中线交点即三角形的重心，三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍，B错误；高的交点是三角形的垂心，到三边的距离不相等，C错误；线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等，D错误；角平分线上的点到角两边的距离相等，要到三角形三条边距离相等的点，只能是三条角平分线的交点，A正确．故选A．点评：本题考查了角平分线的性质；熟练掌握三角形中角平分线，重心，垂心，垂直平分线的性质，是解答本题的关键．6．如图，三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DEAC，DFAB，垂足分别为E，F，下面四个结论：①∠AFE=∠AEF；②AD垂直平分EF；③；④EF一定平行BC．其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．分析：由三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DEAC，DFAB，根据角平分线的性质，可得DE=DF，∠ADE=∠ADF，又由角平分线的性质，可得AF=AE，继而证得①∠AFE=∠AEF；又由线段垂直平分线的判定，可得②AD垂直平分EF；然后利用三角形的面积公式求解即可得③．解答：解：①三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，DEAC，DFAB，∠ADE=∠ADF，DF=DE，AF=AE，∠AFE=∠AEF，故正确；②DF=DE，AF=AE，点D在EF的垂直平分线上，点A在EF的垂直平分线上，AD垂直平分EF，故正确；③SBFD=BF•DF，SCDE=CE•DE，DF=DE，；故正确；④∠EFD不一定等于∠BDF，EF不一定平行BC．故错误．故选A．点评：此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）7．在等腰三角形ABC中，∠A=120°，则∠C=30°．考点：等腰三角形的性质．分析：首先根据∠A的度数判断∠A是顶角，然后根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理不能求得底角∠C的度数．解答：解：等腰ABC中，∠A=120°，∠A为顶角，∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣120°）=30°．故答案为：30°．点评：本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；利用三角形的内角和求角度是一种很重要的方法，要熟练掌握．8．等腰三角形的两边长为4，9．则它的周长为22．考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：由于题目没有说明4和9，哪个是底哪个是腰，所以要分类讨论．解答：解：当腰长为4，底长为9时；4+4＜9，不能构成三角形；当腰长为9，底长为4时；9﹣4＜9＜9+4，能构成三角形；故等腰三角形的周长为：9+9+4=22．故填22．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．9．已知ABC的三边长分别为9、12、15，则最长边上的中线长为7.5．考点：直角三角形斜边上的中线；勾股定理的逆定理．分析：利用勾股定理逆定理判断出ABC是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．解答：解：92+122=225=152，ABC是直角三角形，最长边上的中线长=×15=7.5．故答案为：7.5．点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理逆定理，熟记性质并判断出三角形是直角三角形是解题的关键．10．如图，一张长方形纸片宽AB=8cm，长BC=10cm，现将纸片折叠，使顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），则EC=3．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：首先根据勾股定理求出BF的长，进而求出FC的长；再次根据勾股定理，列出关于线段EF的方程，求出EF的长度，即可解决问题．解答：解：四边形ABCD为矩形，∠B=90°，AD=BC=10；DC=AB=8；由题意得：AF=AD=10，EF=ED=λ，则EC=8﹣λ；由勾股定理得：BF2=102﹣82=36，BF=6，CF=10﹣6=4；由勾股定理得：λ2=42+（8﹣λ）2，解得：λ=5，EC=8﹣5=3，故答案为：3．点评：该题主要考查了翻折变换及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．11．（3分）（2014秋•泰州校级期中）已知如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，则∠EAB是35度．考点：角平分线的性质．分析：过点E作EFAD，证明ABE≌AFE，再求得∠CDE=90°﹣35°=55°，进而得到∠CDA和∠DAB的度数，即可求得∠EAB的度数．解答：解：过点E作EFAD，DE平分∠ADC，且E是BC的中点，CE=EB=EF，又∠B=90°，且AE=AE，ABE≌AFE，∠EAB=∠EAF．又∠CED=35°，∠C=90°，∠CDE=90°﹣35°=55°，∠CDA=110°，∠B=∠C=90°，DC∥AB，∠CDA+∠DAB=180°，∠DAB=70°，∠EAB=35°．故答案为：35．点评：本题考查了角平分线的性质，解答此题的关键是根据题意作出辅助线EFAD，构造出全等三角形，再由全等三角形的性质解答．12．小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1m，当他把绳子下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为12米．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．解答：解：设旗杆高xm，则绳子长为（x+1）m，旗杆垂直于地面，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为x2+52=（x+1）2，解得x=12m．点评：此题很简单，只要熟知勾股定理即可解答．13．如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积分别是为1、13，则直角三角形两直角边和a+b=5．考点：勾股定理的证明．分析：根据大正方形的面积即可求得c2，利用勾股定理可以得到a2+b2=c2，然后求得直角三角形的面积即可求得ab的值，根据（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab即可求解．解答：解：大正方形的面积是13，c2=13，a2+b2=c2=13，直角三角形的面积是=3，又直角三角形的面积是ab=3，ab=6，（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+2×6=13+12=25．a+b=5（舍去负值）．故答案是：5．点评：本题考查了勾股定理以及完全平方公式．注意完全平方公式的展开：（a+b）2=a2+b2+2ab，还要注意图形的面积和a，b之间的关系．14．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=9cm，CF=5cm，则BD=4cm．考点：全等三角形的判定与性质；平行线的性质．专题：计算题．分析：先根据平行线的性质求出∠ADE=∠EFC，再由ASA可求出ADE≌CFE，根据全等三角形的性质即可求出AD的长，再由AB=9cm即可求出BD的长．解答：解：AB∥CF，∠ADE=∠EFC，∠AED=∠FEC，E为DF的中点，ADE≌CFE，AD=CF=5cm，AB=9cm，BD=9﹣5=4cm．故填4．点评：本题考查的是平行线的性质、全等三角形的判定定理及性质，比较简单．15．如图，D是等边ABC的AC边上的中点，点E在BC的延长线上，DE=DB，ABC的周长是9，则∠E=30°，CE=．考点：等边三角形的性质．专题：综合题．分析：由ABC为等边三角形，且BD为边AC的中线，根据“三线合一”得到BD平分∠ABC，而∠ABC为60°，得到∠DBE为30°，又因为DE=DB，根据等边对等角得到∠E与∠DBE相等，故∠E也为30°；由等边三角形的三边相等且周长为9，求出AC的长为3，且∠ACB为60°，根据∠ACB为DCE的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，求出∠CDE也为30°，根据等角对等边得到CD=CE，都等于边长AC的一半，从而求出CE的值．解答：解：ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，BD为∠ABC的平分线，且∠ABC=60°，即∠DBE=30°，又DE=DB，∠E=∠DBE=30°，等边ABC的周长为9，AC=3，且∠ACB=60°，∠CDE=∠ACB﹣∠E=30°，即∠CDE=∠E，CD=CE=AC=．故答案为：30；点评：此题考查了等边三角形的性质，利用等边三角形的性质可以解决角与边的有关问题，尤其注意等腰三角形“三线合一”性质的运用，及“等角对等边”、“等边对等角”的运用．16．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D是AB的中点，E、F在射线AC与射线CB上运动，且满足AE=CF；当点E运动到与点C的距离为1时，则DEF的面积=或．考点：全等三角形的判定与性质．专题：动点型．分析：易证ADE≌CDF，CDE≌BCF，可得四边形CEDF面积是ABC面积的一半，再计算CEF的面积即可解题．解答：解：①E在线段AC上，在ADE和CDF中，，ADE≌CDF，（SAS），同理CDE≌BDF，四边形CEDF面积是ABC面积的一半，CE=1，CF=4﹣1=3，CEF的面积=CE•CF=，DEF的面积=×2×2﹣=．②E'在AC延长线上，AE'=CF'，AC=BC=4，∠ACB=90°，CE'=BF'，∠ACD=∠CBD=45°，CD=AD=BD=2，∠DCE'=∠DBF'=135°，在CDE'和BDF'中，，CDE'≌BDF'，（SAS）DE'=DF'，∠CDE'=∠BDF'，∠CDE'+∠BDE'=90°，∠BDE'+∠BDF'=90°，即∠E'DF'=90°，DE'2=CE'2+CD2﹣2CD•CE'cos135°=1+8+2×2×=13，SE'DF'=DE'2=．故答案为或．点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证ADE≌CDF和CDE≌BCF是解题的关键．三、解答题（共10小题，满分102分）17．作图一：如图1，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE．（1）在图中画出AEF，使AEF与AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点；（2）请直接写出AEF与四边形ABCD重叠部分的面积8．作图二：如图2，ABC与DEF关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在图2中作出直线l．（保留作图痕迹）考点：作图-轴对称变换．分析：作图一：（1）利用轴对称图形的性质得出B点关于直线AE的对称点F，AEF即为所求；（2）AEF与四边形ABCD重叠部分的面积为：S四边形AECD=2×4=8；作图二：利用轴对称图形的性质得出，直线l即为所求．解答：解：作图一：（1）如图1所示：AEF即为所求；（2）AEF与四边形ABCD重叠部分的面积为：2×4=8；故答案为：8；作图二：如图2所示：直线l即为所求点评：此题主要考查了轴对称变换，正确利用轴对称图形的性质得出是解题关键．18．如图，已知在ABC中，CDAB于D，AC=20，BC=15，DB=9．求∠ACB的度数．考点：勾股定理；勾股定理的逆定理．分析：根据勾股定理求出CD、AD的长，再根据勾股定理逆定理求出AC2+BC2=AB2，判断出ABC是直角三角形即可求出∠ACB的度数．解答：解：在RtBCD中，CD===12，在RtACD中，AD===16，AB=AD+DB=16+9=25，AC2+BC2=400+225=625，AB2=252=625，AC2+BC2=AB2，∠ACB=90°．点评：本题考查了勾股定理和勾股定理逆定理，在不同三角形中找到相应的条件是解题的关键．19．如图，ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D．①若BCD的周长为8，求BC的长；②若BD平分∠ABC，求∠BDC的度数．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：①根据线段的垂直平分线的性质求出AD=BD，求出BD+DC+BC=BC+AC=8，即可得出答案；②设∠A=a°，根据等腰三角形的性质求出∠A=∠ABD=a°，∠ABC=∠ACB=2a°，根据三角形内角和定理得出方程5a=180，求出后根据三角形的外角性质求出即可．解答：解：①DE是线段AB的垂直平分线，AD=BD，BCD的周长为8，BD+DC+BC=BC+AD+DC=BC+AC=8，AB=AC=5，BC=3；②设∠A=a°，AD=BD，∠A=∠ABD=a°，BD平分∠ABC，∠ABD=∠CBD=a°，AB=AC，∠ABC=∠ACB=2a°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，5a=180，a=36，∠A=∠ABD=36°，∠BDC=∠A+∠ABD=72°．点评：本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，含30度角的直角三角形，三角形的外角性质，等腰三角形的性质的应用，解此题的关键是推出AB=AE=EC，AE=2DE，综合性比较强，难度适中．20．已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DEAB于点E，DFAC于点F，求证：DE=DF．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．专题：证明题．分析：连接AD，利用SSS得到三角形ABD与三角形ACD全等，利用全等三角形对应角相等得到∠EAD=∠FAD，即AD为角平分线，再由DEAB，DFAC，利用角平分线定理即可得证．解答：证明：连接AD，在ACD和ABD中，，ACD≌ABD（SSS），∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，DEAE，DFAF，DE=DF．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．21．如图所示，A、B两村在河岸CD的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为AC=1km，BD=3km，又CD=3km，现要在河岸CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用．考点：作图—应用与设计作图；轴对称-最短路线问题．专题：作图题．分析：作出点B关于CD的对称点B′，连接AB′交CD于点O，连接BO，根据对称性可知，在点O处建水厂，铺设水管最短，所需费用最低．解答：解：如图所示，点O就是建水厂的位置，AC=1km，BD=3km，CD=3km，AE=AC+CE=AC+DB′=AC+BD=1+3=4km，B′E=CD=3km，AB′===5km，铺设水管长度为：AO+OB=AO+OB′=AB′=5km，铺设水管的工程费用为每千米20000元，铺设水管的总费用为：5×20000=100000元．故答案为：100000元．点评：本题考查了应用与设计作图，主要利用轴对称的性质，找出点B关于CD的对称点是确定建水厂位置O的关键．22．如图，在ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断AFC的形状，并说明理由．考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：探究型．分析：要判断AFC的形状，可通过判断角的关系来得出结论，那么就要看∠FAC和∠FCA的关系．因为∠BAD=∠BCE，因此我们只比较∠BAC和∠BCA的关系即可．根据题中的条件：BD=BE，∠BAD=∠BCE，BDA和BEC又有一个公共角，因此两三角形全等，那么AB=AC，于是∠BAC=∠BCA，由此便可推导出∠FAC=∠FCA，那么三角形AFC应该是个等腰三角形．解答：解：AFC是等腰三角形．理由如下：在BAD与BCE中，∠B=∠B（公共角），∠BAD=∠BCE，BD=BE，BAD≌BCE（AAS），BA=BC，∠BAD=∠BCE，∠BAC=∠BCA，∠BAC﹣∠BAD=∠BCA﹣∠BCE，即∠FAC=∠FCA．AF=CF，AFC是等腰三角形．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定等知识点，利用全等三角形来得出角相等是本题解题的关键．23．如图，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点．求证：MNBD．考点：直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：连接BM、DM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=DM=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．解答：证明：如图，连接BM、DM，∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，BM=DM=AC，点N是BD的中点，MNBD．点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．24．如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，ADDE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．（1）求证：∠FMC=∠FCM；（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：几何综合题．分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得出DFAE，DF=AF=EF，进而利用全等三角形的判定得出DFC≌AFM（AAS），即可得出答案；（2）由（1）知，∠MFC=90°，FD=EF，FM=FC，即可得出∠FDE=∠FMC=45°，即可理由平行线的判定得出答案．解答：（1）证明：ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，DFAE，DF=AF=EF，又∠ABC=90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，∠DCF=∠AMF，在DFC和AFM中，，DFC≌AFM（AAS），CF=MF，∠FMC=∠FCM；（2）ADMC，理由：由（1）知，∠MFC=90°，FD=FA=FE，FM=FC，∠FDE=∠FMC=45°，DE∥CM，ADMC．点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，得出∠DCF=∠AMF是解题关键．25．如图，在RtABC中，∠B=90°，AC=100cm，BC=80cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，同时，另一点Q由点B开始沿BC边向点C以1.5cm/s的速度运动．（1）20s后，点P与点Q之间相距50cm．（2）在（1）的条件下，若P、Q两点同时相向而行，20秒后两点相遇．（3）多少秒后，AP=CQ？考点：勾股定理；一元一次方程的应用．专题：动点型．分析：（1）在直角BPQ中，根据勾股定理来求PQ的长度；（2）由（1）中的PQ=50得到：50=（1+1.5）t；（3）由路程=时间×速度列出等式．解答：解：如图，在RtABC中，∠B=90°，AC=100cm，BC=80cm，AB==60cm．（1）在直角BPQ中，由勾股定理得到：PQ===50（cm），即PQ=50cm；（2）由（1）知，PQ=50cm，则P、Q两点同时相向而行时，两点相遇的时间为：=20（秒）；（3）设t秒后，AP=CQ．则t=80﹣1.5t，解得t=32．答：32秒后，AP=CQ．故答案是：（1）50（2）20（3）32．点评：本题考查了勾股定理和一元一次方程的定义．解题时，需要熟悉路程=时间×速度，以及变形后的公式．26．如图，已知点A是线段OB的垂直平分线上一点，ANON，BOON，P为ON上一点，∠OPB=∠OAB．（1）若∠AOB=60°，PB=4，则OP=2；（2）在（1）的条件下，求证：PA+PO=PB；（3）如图②，若ON=5，求出PO+PB的值．考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质．专题：综合题．分析：（1）易证AOB是等边三角形，从而可得∠OPB=∠OAB=60°，即可得到∠OBP=30°，然后根据30°角所得的直角边等于斜边的一半即可求出OP的值；（2）如图①，由（1）可得OB=AB，∠ABP=∠OBP=30°，从而可证到OBP≌ABP，则有OP=AP=2，即可证到PA+PO=4=PB；（3）延长ON、BA交于点D，如图②．由AO=AB，∠DOB=90°可证到∠D=∠AOD，从而可得AD=AO，由ANOD可得DN=ON=5，由∠OPB=∠OAB可得∠AOD=∠PBD，从而得到∠D=∠PBD，则有PD=PB，即可得到PO+PB=PO+PD=OD=10．解答：解：（1）点A是线段OB的垂直平分线上一点，AO=AB．∠AOB=60°，AOB是等边三角形，OB=AB，∠OAB=∠ABO=60°．∠OPB=∠OAB=60°．BOON，即∠POB=90°，∠OBP=30°，OP=PB=×4=2．故答案为2；（2）证明：如图①，由（1）得OB=AB，∠OAB=∠ABO=60°，∠OBP=30°，∠ABP=∠ABO﹣∠OBP=30°=∠OBP．在OBP和ABP中，，OBP≌ABP（SAS），OP=AP=2，PA+PO=4=PB；（3）延长ON、BA交于点D，如图②．AO=AB，∠AOB=∠ABO．∠DOB=90°，∠D+∠OBD=90°，∠AOD+∠BOA=90°，∠D=∠AOD，AD=AO．ANOD，DN=ON=5．∠OPB=∠OAB，∠AOD=∠PBD，∠D=∠PBD，PD=PB，PO+PB=PO+PD=OD=10．点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、30°角所得的直角边等于斜边的一半、等角的余角相等等知识，证到OBP≌ABP是解决第（2）小题的关键，通过添加适当的辅助线将PO+PB转化为线段OD是解决第（3）小题的关键．

三角形中线定理范文

一、数与代数a、数与式：1、有理数有理数：①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数

数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0(原点)，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

有理数的运算：加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号相加，绝对值相等时和为0;绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。

减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。

除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。

乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，a叫底数，n叫次数。

混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。

2、实数无理数：无限不循环小数叫无理数

平方根：①如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。②如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数a的平方根运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。

立方根：①如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根。②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。③求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数。

实数：①实数分有理数和无理数。②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。

3、代数式

代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。

合并同类项：①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。

4、整式与分式

整式：①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。③一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。

整式运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。

幂的运算：am+an=a(m+n)

(am)n=amn

(a/b)n=an/bn除法一样。

整式的乘法：①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。②单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

公式两条：平方差公式/完全平方公式

整式的除法：①单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。

方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。

分式：①整式a除以整式b，如果除式b中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。②分式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变。

分式的运算：

乘法：把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。

除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。

加减法：①同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。②异分母的分式先通分，化为同分母的分式，再加减。

分式方程：①分母中含有未知数的方程叫分式方程。②使方程的分母为0的解称为原方程的增根。

b、方程与不等式

1、方程与方程组

一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。②等式两边同时加上或减去或乘以或除以(不为0)一个代数式，所得结果仍是等式。

解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。

二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。

解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。

一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程

1)一元二次方程的二次函数的关系

大家已经学过二次函数(即抛物线)了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当y的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与x轴的交点。也就是该方程的解了

2)一元二次方程的解法

大家知道，二次函数有顶点式(-b/2a,4ac-b2/4a)，这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解

(1)配方法

利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解

(2)分解因式法

提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解

(3)公式法

这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根x1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，x2={-b-√[b2-4ac)]}/2a

3)解一元二次方程的步骤：

(1)配方法的步骤：

先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式

(2)分解因式法的步骤：

把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法(这里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式

(3)公式法

就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c

4)韦达定理

利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a

也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用

5)一元一次方程根的情况

利用根的判别式去了解，根的判别式可在书面上可以写为”，读作diaota”，而=b2-4ac，这里可以分为3种情况：

i当>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根;

ii当=0时，一元二次方程有2个相同的实数根;

iii当<0时，一元二次方程没有实数根(在这里，学到高中就会知道，这里有2个虚数根)

2、不等式与不等式组

不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。③求不等式解集的过程叫做解不等式。

一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。

一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

一元一次不等式的符号方向：

在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，他是随着你加或乘的运算改变。

在不等式中，如果加上同一个数(或加上一个正数)，不等式符号不改向;例如：a>b,a+c>b+c

在不等式中，如果减去同一个数(或加上一个负数)，不等式符号不改向;例如：a>b，a-c>b-c

在不等式中，如果乘以同一个正数，不等号不改向;例如：a>b，a*c>b*c(c>0)

在不等式中，如果乘以同一个负数，不等号改向;例如：a>b，a*c

如果不等式乘以0，那么不等号改为等号

所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立;

3、函数

变量：因变量，自变量。

在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。

一次函数：①若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b(b为常数，k不等于0)的形式，则称y是x的一次函数。②当b=0时，称y是x的正比例函数。

一次函数的图象：①把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。②正比例函数y=kx的图象是经过原点的一条直线。③在一次函数中，当k〈0，b〈o，则经234象限;当k〈0，b〉0时，则经124象限;当k〉0，b〈0时，则经134象限;当k〉0，b〉0时，则经123象限。④当k〉0时，y的值随x值的增大而增大，当x〈0时，y的值随x值的增大而减少。

二空间与图形

a、图形的认识

1、点，线，面

点，线，面：①图形是由点，线，面构成的。②面与面相交得线，线与线相交得点。③点动成线，线动成面，面动成体。

展开与折叠：①在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。②n棱柱就是底面图形有n条边的棱柱。

截一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。

视图：主视图，左视图，俯视图。

多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。

弧、扇形：①由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。②圆可以分割成若干个扇形。

2、角

线：①线段有两个端点。②将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有一个端点。③将线段的两端无限延长就形成了直线。直线没有端点。④经过两点有且只有一条直线。

比较长短：①两点之间的所有连线中，线段最短。②两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。

角的度量与表示：①角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。

角的比较：①角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。②一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周角。③从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

平行：①同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。③如果两条直线都与第3条直线平行，那么这两条直线互相平行。

垂直：①如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。②互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

垂直平分线：垂直和平分一条线段的直线叫垂直平分线。

垂直平分线垂直平分的一定是线段，不能是射线或直线，这根据射线和直线可以无限延长有关，再看后面的，垂直平分线是一条直线，所以在画垂直平分线的时候，确定了2点后(关于画法，后面会讲)一定要把线段穿出2点。

垂直平分线定理：

性质定理：在垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等;

判定定理：到线段2端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上

角平分线：把一个角平分的射线叫该角的角平分线。

定义中有几个要点要注意一下的，就是角的角平分线是一条射线，不是线段也不是直线，很多时，在题目中会出现直线，这是角平分线的对称轴才会用直线的，这也涉及到轨迹的问题，一个角个角平分线就是到角两边距离相等的点

性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等

判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上

正方形：一组邻边相等的矩形是正方形

性质：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质

判定：1、对角线相等的菱形2、邻边相等的矩形

二、基本定理

1、过两点有且只有一条直线

2、两点之间线段最短

3、同角或等角的补角相等

4、同角或等角的余角相等

5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9、同位角相等，两直线平行

10、内错角相等，两直线平行

11、同旁内角互补，两直线平行

12、两直线平行，同位角相等

13、两直线平行，内错角相等

14、两直线平行，同旁内角互补

15、定理三角形两边的和大于第三边

16、推论三角形两边的差小于第三边

17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

18、推论1直角三角形的两个锐角互余

19、推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20、推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21、全等三角形的对应边、对应角相等

22、边角边公理(sas)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23、角边角公理(asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24、推论(aas)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25、边边边公理(sss)有三边对应相等的两个三角形全等

26、斜边、直角边公理(hl)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27、定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28、定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)

31、推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

33、推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

34、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)

35、推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

36、推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42、定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形

43、定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44、定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

45、逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

46、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c2

47、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形

48、定理四边形的内角和等于360°

49、四边形的外角和等于360°

50、多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180°

51、推论任意多边的外角和等于360°

52、平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等

53、平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等

54、推论夹在两条平行线间的平行线段相等

55、平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分

56、平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57、平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58、平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形

59、平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60、矩形性质定理1矩形的四个角都是直角

61、矩形性质定理2矩形的对角线相等

62、矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形

63、矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形

64、菱形性质定理1菱形的四条边都相等

65、菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

66、菱形面积=对角线乘积的一半，即s=(a×b)÷2

67、菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形

68、菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69、正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等

70、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

71、定理1关于中心对称的两个图形是全等的

72、定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

73、逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称

74、等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等

75、等腰梯形的两条对角线相等

76、等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77、对角线相等的梯形是等腰梯形

78、平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

79、推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

80、推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边

81、三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

82、梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半l=(a+b)÷2s=l×h

83、(1)比例的基本性质：如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d

84、(2)合比性质：如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d

85、(3)等比性质：如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),

那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b

86、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

87、推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例

88、定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

89、平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90、定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似

91、相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似(asa)

92、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

93、判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(sas)

94、判定定理3三边对应成比例，两三角形相似(sss)

95、定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

96、性质定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

97、性质定理2相似三角形周长的比等于相似比

98、性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方

99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值

100、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值

101、圆是定点的距离等于定长的点的集合

102、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104、同圆或等圆的半径相等

105、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

106、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线

107、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

108、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

109、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

110、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111、推论1

①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

112、推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等

113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114、定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

115、推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

116、定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117、推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

118、推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径

119、推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

120、定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

121、①直线l和o相交d

②直线l和o相切d=r

③直线l和o相离d>r

122、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

123、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

124、推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

125、推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

127、圆的外切四边形的两组对边的和相等

128、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129、推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

130、相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

131、推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

132、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

133、推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

134、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

135、①两圆外离d>r+r②两圆外切d=r+r③两圆相交r-rr)

④两圆内切d=r-r(r>r)⑤两圆内含dr)

136、定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

137、定理把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

138、定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

139、正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n

140、定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

141、正n边形的面积sn=pnrn/2p表示正n边形的周长

142、正三角形面积√3a/4a表示边长

143、如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4

144、弧长计算公式：l=n兀r/180