分步傅里叶法的基本原理范例(3篇)

分步傅里叶法的基本原理范文篇1

关键词：傅里叶分析；傅里叶级数；傅里叶变换；频谱

中图分类号：G642.0文献标志码：A文章编号：1674-9324（2015）37-0233-02

一、引言

信号与系统是电子信息专业必修的一门重要专业基础核心课程。从学科重要性和内容丰富性来说，学生应该对这门课很感兴趣，但事实这门课却是一门难学难教的课程，由于该课程具有不同于先修课程的思维方式，而且数学能力要求比较高，其内容涉及到线性微分方程、积分变换、复变函数、离散数学等多门数学课程的内容，所以老师感到难教，学生感到难学。尤其是该课程涉及的频域分析是学生感到极为困惑和难以理解的内容，如何讲好对我们教师来说也是面临着一个挑战。因为学生能在实际生活中能感知到时域，却对抽象的频域难以建立概念。讲课时如果将用于时域、频域分析的傅里叶分析仅仅当成一个数学的工具，那它将是一个看起来极为复杂的公式，那一定会让学生深恶痛绝而严重影响学生的学习兴趣，制约教学效果。因此，本文作者通过在信号与系统课程中对傅里叶分析教学解读，使学生深入理解频域的概念以及时域、频域关系，并能将理论知识结合到实际应用，进而进一步理解实际工作中频谱、调制、解调、滤波器、滤波、除噪等概念。开展信号与系统课程的教学研究，对电子信息及通信工程专业学生具有重要的意义。

二、时域频域基本概念

1.时域分析。以时间为自变量描述物理量的变化是信号最基本、最直观的表达形式。在时域内对信号进行放大、滤波、统计特征的计算、相关性分析等处理称为信号的时域分析。在时间领域内我们对信号及系统进行分析与求解，不涉及到任何变换，这种分析方比较直观，物理概念比较清楚，是学生比较容易理解和掌握的分析方法。

2.频域分析。以时间为参照物观察动态世界的方法虽然直观好理解，但要想对信号进行深入研究，比如对含噪声信号进行除噪时，时域分析显然就不太好解决。此时如果能够利用傅里叶分析，在频域里对信号进行分析，我们将很清楚知道信号所含噪声成分，从而指导我们对信号进行滤波除噪等工作。

3.信号时域、频域关系。我们以我们日常生活的语音信号为例来说明时频关系。这里我们使用电脑的声卡设备采集一段语音信号，并将其保存在电脑中，保存的名字为sound，可以看到这段录音文件的格式为wav格式，而MATLAB可以直接读取wav的音频格式。利用MATLAB我们画出其时域波形如图1（a），横轴表示时间变量，纵轴表示语音的强弱。我们学生是很容易直观理解语音是随时间变化的不同的震动强度。同样利用MATLAB我们画出语音频谱图1（b），这是我们语音信号在频域中的另一种表现形式，我们可以清楚地看到这段语音信号是一组不同频率分量的组合，并能知道我们能量集中在哪个频段，从而指导我们在实际工作中对信号进行后期处理，如对信号进行滤波除噪等。但这些对于初学者是感到困惑而不得其解的。

三、教学案例分析

如何让学生像理解时域分析那样理解频域分析，这是我们教师讲课难点所在，也是我们从事信号处理课程教师要积极深入思考的问题。我们知道贯穿时域与频域的方法就是数学中的傅里叶分析。傅里叶分析有对周期信号的傅里叶级数及对非周期信号的傅里叶变换，我们从简单入手对学生讲清楚傅里叶级数在信号频谱分析中的作用，傅里叶级数数学公式很复杂但它是物理思想的表达，不能讲成一堆复杂数学计算公式的罗列，这种教学将是失败的教学。要通过教学案例引导学生掌握内涵。以周期矩形波为例，我们想要告诉学生它是用一组不同频率的正弦波叠加而成，学生也许不会相信，其实我们在做学生的时候同样对这种奇妙的结论持怀疑态度。因此接下来你要做的就是让怀着好奇心的同学看着你借助于多媒体动态逼真的演示，不得不信服你，并怀着极大的求知欲望深入继续的学习，那么我们的教学目的就达到了。以周期矩形波f（t）=10

n_max=[72141]；

N=length（n_max）；

t=-1.1：.002：1.1；

omega_0=2*pi；

fork=1：N

n=[]；

n=[1：2：n_max（k）]；

b_n=4./（pi*n）；

x=b_n*sin（omega_0*n'*t）；

subplot（N，1，k），plot（t，x，'linewidth'，2）；

axis（[-1.11.1-1.51.5]）；

line（[-1.11.1]，[00]，'color'，'r'）；

line（[00]，[-1.51.5]，'color'，'r'）；

bt=strcat（'最高谐波次数='，num2str（n_max（k）））；

title（bt）；

end

如图2最高谐波数分别为7、21、41的三个合成波形图，借助于MATLAB我们可以形象地观察傅里叶级数与原时域波形的关系。随着我们谐波叠加次数的增加，我们最终得到的会是一个标准的矩形周期波。

通过此例学生们体会到了什么道理呢？随着老师的动态逼真的演示，学生发现当取的正弦分量越少叠加出来的效果越差，叠加的正弦分量增加的越多甚至到无穷项时，我们最终将会得到一个矩形周期波。进而可以告诉学生不仅仅矩形波是这样，其他形状的周期波同样可以如此地用正弦波进行叠加。这种由时域到频域的直观演示很容易让学生接受，学生一旦理解了这个从时域到频域的知识难点的话，我们接下来介绍矩形波在频域中的频谱将带给学生极其浓厚的兴趣。

四、总结

多年来我们一直在不断地进行着教学的研究及实践，积极申报并进行着校级省级教学研究项目，其目的就是为了提高教学质量，培养优秀创新人才。信号与系统是一门很重要的课，几乎是大部分工科课程的基础，必须吃透它。在讲傅里叶级数和傅里叶变换这个重要的知识点时，我们应该明白随着数学概念的愈来愈抽象，数学工具对于工科生来说应重在理解，如果我们的教学还在从纯数学角度出发，即使你讲得天花乱坠，对傅里叶级数及傅里叶变换又是推导又是证明，但学生心里想的是学这有用吗？这种学习方法缺少了目标教育，无法让学生知道自已学业的某些知识在现实中将会扮演的角色，毫无前途可言。

参考文献：

[1]管致中.信号与线性系统[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]金波，蛄嵊.信号与系统基础[M].武汉：华中科技大学出版，2006.

[3]李正周.MATLAB数字信号处理与应用[M].清华大学出版社，2008.

分步傅里叶法的基本原理范文

关键词：小波分析；小波去噪；房地产分析

中图分类号：F22文献标志码：A文章编号：1673-291X（2012）21-0001-03

引言

小波分析是20世纪80年代开始逐渐发展成熟起来的一个数学分支，它是在傅里叶分析的基础上发展起来的。傅里叶变换只能提供信号在整个时间域上的频率，不能提供信号在某个时间段上的频率信息。针对傅里叶分析、短时傅里叶分析的不足，1910年Haar提出了最早的Haar小波规范正交基。1981年，法国地质物理学家JeanMorlet在对傅里叶变换和短时傅里叶变换的异同、特点及函数构造进行创造性研究的基础上，首次提出了“小波分析”的概念。1986年，法国数学家Meyer首先构造了具有相当快衰减并且相当光滑的小波函数ψ（x），引起当时数学界的震动。Mallat基于多分辨分析理论框架，建立了与经典快速傅里叶变换相应的快速小波变化算法——Mallat算法，由此实现了小波分析从数学到技术的转变。

随着小波分析的日臻成熟，它在图像压缩、地震勘探、机械振动的检测、医疗图像等方面，得到了广泛的应用，取得了大量具有科学意义和实用价值的重要成果。与此形成鲜明对比的是，小波分析在经济数据分析和预测领域中的应用相对较少。但是小波分析在时—频域的双重定域能力、多尺度分析能力等特点，吸引着众多经济学家克服数学知识上的薄弱，将小波分析引入经济领域的分析与研究。

一、小波分析的基本理论

在用小波变换进行经济信号处理分析前，先介绍一下有关小波的概念和知识。

1.傅立叶分析简介

傅里叶变换（Fouriertransform）是时域到频域互相转化的工具，它实质是把对原函数f的研究转化为对其傅里叶变换（ω）的研究。

定义对于f∈L1（R），定义它的Fourier变换为

（ω）=f（x）e-iωxdx

并且

f（x）=（ω）eiωxdω

把f看做是一个模拟信号时，f（x）和（ω）分别在时域和频域上反映了它的特点。

2.小波分析

小波分析作为一种非平稳信号的时间—尺度分析方法，很好的解决了傅里叶分析的不足。首先，让我们来了解一下小波变换的基本知识。

定义设函数ψ（t）∈L1（R）∩L2（R），并且（0）=0，即ψ（t）dt=0，则称为一个基本小波或母小波。

定义设函数ψ（t）∈L1（R）∩L2（R），其傅里叶变换为（ω）。当（ω）满足条件：

Cψ=|（ω）|2dω

则称ψ（t）为允许小波。

根据定义知，允许小波一定是母小波。

定义对母小波ψ（t）伸缩和平移得

ψ（t）＝ψ（）a，b∈Ra≠0

称ψa，b为小波函数。其中a称为尺度因子，b称为平移因子。

定义对于任一函数f（t）∈L2（R），称（Wψf）（a，b）==f（t）ψ（）dt，a≠0

为函数f（t）的连续小波变换。

函数f（t）可以有它的小波变换重构，重构公式为：

f（t）=（Wψf）（a，b）ψa，bdadb

二、小波信号去噪

一般来说，现实中的信号都是带噪信号，在对信号做进一步分析之前，需要将有效的信号提取出来。因此，去噪和滤波就成了信号处理的一个重要内容。小波变换具有良好的时频局部化性质，为解决这一问题提供了有力的工具。当前，小波技术在信号去噪中得道了广泛研究并获得了非常好的应用效果，已成为信号去噪的主要方法之一。

1.Lipschitz指数

我们称无限次可导的函数是光滑的或者没有奇异性的。若函数在某处有间断或者某阶导数不连续，则称该函数在此处有奇异性。小波变换具有空间局部化性质，因此小波变换应该能够更好的分析信号的奇异点的位置及奇异性的强弱。函数的奇异性通常用李普西兹Lipschitz指数来衡量。

定义

（1）称函数f在点v∈R为Lipschitzα（α≥0），如果存在常数A>0和α次多项式Pv，使得t∈R，|f（t）-Pv（t）|≤A|t-v|α。

（2）称函数f在区间[a，b]上是一致Lipschitzα≥0的，如果存在与v无关的常数K>0使得式对所有v∈[a，b]成立。其中，[a，b]可以是无限区间。

（3）满足f（t）在v点是Lipschitzα的所有的α上界α0，刻画了函数在该点的正则性，称为函数f（t）在v点的Lipschitz指数。

函数f（t）在v点连续可微，则f（t）在该点的Lipschitz指数为1；函数f（t）在v点不连续但有界，f（t）在该点的Lipschitz指数为0；函数f（t）在v点的Lipschitz指数小于1，则称函数f（t）在v点是奇异的。

如果函数f（t）的原函数F（t）在v点的Lipschitz指数为α（0≤α＜1），则函数f（t）在v点的为Lipschitzα-1。因此Lipschitz指数还可以扩展到-1≤α＜0的范围内。负的Lipschitz指数意味着函数具有比不连续更大的奇异性。

分步傅里叶法的基本原理范文

关键词:LabWindows/CVI;联合时频分析;短时傅里叶变换

中图分类号:TP393文献标识码:A文章编号:1009-3044(2010)13-3364-02

TheJointTime-FrequencyAnalysisBasedonLabWindows/CVI

LIYi-zhe,LIUYan-yan,SUOKun

(ElectronicsandInformationEngineeringCollegeLanzhouJiaotongUniversity,Lanzhou730070,China)

Abstract:BasedontheLabWindows/CVIplatform,wehavestudiedtheenergydistributionsituationofthesignalbythejointtime-frequencyana1sismethod.Thismethodhasusedtheshort-timeFouriertransformbasicprincipletoanalyzesomenon-steadysignals,andthemethodcandescribehowthesignalfrequencychangesalongwiththetimewell.Thismethodhascertainsuperioritycomparedtoanalyzingthesignalbyusingthetimedomainorthefrequencyrangesinglely.

Keywords:LabWindows/CVI;JTFA;STFT

1概述

在许多应用中,信号往往是非平稳的,为了分析和处理非平稳信号,人们对傅里叶分析进行了推广甚至根本性的革命,提出并发展了一系列新的信号处理理论。联合时频分析(JointTime-FrequencyAnalysis,JTFA),就是其中一种重要的方法。联合时频分析的基本思想就是设计时间和频率的联合函数。采用时间-频率联合表示信号,将一维的时间信号映射到一个二维的时频平面,在时频域内对信号进行分析,全面反映观测信号的时频联合特征,使我们同时掌握信号的时域及频域信息,而且可以清楚地了解信号的频率是如何随时间变化的。

鉴于实际的信号分析仪器并不能进行短时傅里叶变换的运算,因此,在LabWindows/CVI平台上,充分利用此软件的特点,构建虚拟仪器,实现对数据的仿真。实验结果表明该方法可有效提高对信号的检测能力。

2联合时频分析

联合时频分析(JTFA)是将一维时间域信号映射到能量对时间和频率二维表示的一系列换。频谱和联合时频分布的区别在于:频谱使我们能够确定哪些频率存在,而联合时频表示能够确定在某一时刻频率成份的分布情况。基于傅里叶变换的信号频域表示及其能量频域分布,揭示了信号在频域的特征。但是,傅里叶变换是一种整体变换,只能了解信号在时域或者频域的全局特性。对于非平稳信号,联合时频分析对了解信号频谱随时间变化的情况,有及其重要的作用。

LabWindows/CVI是NationalInstruments公司推出的一套面向测控领域的软件开发平台。它以ANSIC为核心,将功能强大、使用灵活的C语言平台与数据采集、分析和表达的测控专业工具有机地接和起来。它的集成化开发平台,交互式编程方法,丰富的控件和库函数大大增强了C语言的功能,为熟悉C语言的开发人员建立检测系统、自动测量环境、数据采集系统和过程监控系统等提供了一个理想的软件开发环境。它的应用领域极其广泛,涵盖了军工、电讯、工业生产和航天等各种行业。

3短时傅里叶变换

短时傅里叶变换(short-timeFouriertransform,STFT),是Gabor在1946年所提出的[1],它是最早的JTFA方法,也是应用最为广泛的方法之一。它的基本思想是,在传统傅里叶变换的框架中,把非平稳信号看成是一系列短时平稳信号的叠加,而短时性则是通过时域上的加窗来实现,并通过以平移参数来覆盖整个时域。

对于给定的非平稳信号s(t)的短时傅里叶变换(STFT)定义为

(1)

其中h(t)为窗函数。

由式(1)我们可以看出,t是窗函数移动的时间参数,由于窗函数h(t)是时间t的函数,所以随着时间的移动,信号s(t)被窗函数h(t)分段,即

(2)

st(u)为原信号在时刻t处u时段窗函数内的截断信号,对该截断信号st(u)进行FFT。当窗函数移动时,信号随时间的先后顺序逐个进入被分析状态。由于信号是被截断为在时刻t处u时段,当u足够小,可视为信号在t时刻的频率,由此实现了STFT。

对于离散时间信号s(n)和窗函数h(n),其离散STFT变换的定义是为

(3)

我们从离散短时傅里叶变换的定义式(3)中可以看出,对于短时傅里叶变换可以有两种不同的物理解释。其一,从傅里叶变换的角度来分析;其二,可从线性滤波器的角度分析。

4实例分析

在进行分析之前,我先来构建两个非平稳随机信号。我们构建跳频信号和gauss-chirp信号作为分析信号。因为这两个信号在时间和频率上有明显的变动,我们可以很容易的看出对信号的分析效果。所构建的两个信号其时域和频域的波形如图1所示。

(a)跳频信号(b)gauss-chirp信号

图1两个非平稳随机信号

图2是基于LabWindows/CVI的STFT仿真的程序界面,主界面有两个图形窗口,下方是一个信号波形的显示窗口,上方是一个STFT的时频图窗口。界面左侧为参数设置区,其中可设置STFT的窗口类型(可选Hanning、Hamming、blackman三种窗)、窗长、窗口步进和FFT点数。它可以模拟实际的工程应用时,STFT在频谱分析中的可行性。

图3为信号在LabWindows/CVI平台上的仿真结果。从运行程序的仿真结果来看,它可以快速实现对信号的STFT变换,时频分析结果图清晰,可以很容易看出信号在时频二维空间的变化情况。达到了预期的效果。

5结论

通过以LabWindows/CVI为平台对两个特定信号(跳频信号和gauss-chirp信号)进行联合时频分析,我们很容易的看出这两种信号的频率随时间的变化情况,而传统的采用单纯在时域或频域分析的方法根本达不到这种目的。这就为我们实际中分析信号提供有利的工具和手段,进而为我们设计出一些现实的虚拟仪器提供很好的平台。

参考文献:

[1]GaborD.Theoryofcommunication[J].IEE.1946,93(III):429-457.

[2]唐向宏,李齐良.时频分析与小波变换[M].北京:科学出版社,2008.

[3]丁玉美,阔永红,高新波.数字信号处理-时域离散随机信号处理[M].西安:西安电子科技大学出版社,2002.